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摘要：有限差分法对直埋热力管道周围土壤径向温度场的求解，受其处理复杂求解区域和边界的局限性及其求解方法效率的低下，而建立直埋管道稳态径向温度场模型，分析了热力管道直埋敷设传热变化，并给出径向温度场的网格剖分方法及有限元求解方法，可提高计算效率。
关键词：热力管道 径向温度场 网格划分 有限元
1传热分析
热力管道多采用架空、直埋敷设。直埋热力管道一般由钢管、保温层、保护层组成，直埋热力管道内水或蒸汽通过对流换热将热量传递给管道内壁，然后通过导热将热量传递给管道外壁、保温层、保护层及土壤，再从地表以辐射及对流换热方式将热量传递给大气。为简化传热模型，假设：直埋热力管道内介质为稳定的湍流；忽略管道内流体与壁面的对流换热热阻；管内壁温度为流体温度；土壤热物性为常数。
2单管稳态径向温度场模型
考虑传热的对称性，单管直埋管道周围径向土壤温度场物理模型，见图1。取某个截面进行研究，其导热为二维稳态。左边界除管道内按常壁温计算外，其余为绝热边界；在距离管道中心一定距离处管道的热影响可以忽略，因此右边界也按绝热边界处理。模型下边界取大地恒温层温度[1]，为第一类边界条件；模型上边界为大地表面，与大气进行对流及辐射换热，为第三类边界条件。
图1图2 图3
管道运行稳态时管道周围土壤温度场的传热微分方程为：
，（1）
式中： —土壤温度，℃； —土壤导热系数，W/（m•℃）。
（1）左边界除管道以外部分的边界条件： ，（2）
（2）管道边界条件： ，（3）
（3）右边界条件： ，（4）
（4）上边界条件： ，（5）；
（5）下边界条件：
，（6）
式中： —管道埋深， ； —管道水平影響区域距离， ； —恒温层深度， ； —恒温层温度，℃； —管道内壁温度，℃； —管道内半径， ； —地表与大气的对流换热系数，W/（m2•℃）；其中 由下式确定：，（7）。 —风速，m/s。
3双管稳态径向温度场模型
3.1模型建立
考虑传热的对称性，双管直埋管道周围径向土壤温度场物理模型，见图2。管道运行稳态时管道周围土壤温度场的传热微分方程同式（1）。边界条件的数学表达式：
，（8）
，（9）
式中： —两管道中心间距的一半， ；其余边界条件同式（4）（5）（6）。
3.2网格划分
（1）有限元法。有限元法适用于复杂的求解区域、并且处理复杂边界有着非常显著的优越性。考虑到求解区域不边界的不规则性，本文采用有限元法进行求解。对于稳态二维问题，以单管直埋管道为例，采用三角形单元剖分求解区域。求解区域采用不均匀网格剖分，将求解区域分为4个区域，见图3。区域I：管道内壁到管外最大覆盖层外壁。该区域为不同的材料，划分网格采用同心圆，即保证节点落在材料的交界面上，这样可以保证每个单元只含有一种材料，共划分网格n1层。区域Ⅱ：区域I外边界和上至地面、右至埋深、下至2倍埋深的区域。该区域的网格剖分采用等圆心不等半径的方式，划分为n2层。首先从圆心引出射线，射线落在区域Ⅱ中的线段长度为l，将线段不均的分成n2份d1，d2，d3，…，dn2，其外层线段与内层线段比i=di+1/di为给定值，i值大于1，本文推荐采用1.05～1.5范围内。横坐标与相邻的Ⅱ、Ⅲ区域边界相同，纵坐标从上至下按比例i递增，沿y轴方向共划分n4层。区域I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ经过上述划分形成有限个四边形，连接四边形的两个顶点，形成三角形单元。
（2）网格划分结果。见图4。图4（a）显示了整个区域的网格划分结果。图4（b）局部放大了区域I、Ⅱ网格划分的结果，划分规律，本文中采用较为稀疏的网格，实际计算时可以通过加大n1、n2、n3、n4和m的数值来加密网格。节点编号和单元编号选择从里到外、从上到下和从左到右三种原则进行划分。
4温度场求解方法
4.1 温度插值函数
对于三角形单元，每个单元e内的温度场离散成只于三个顶点温度 、 、 有关的插值函数， 。每个单元插值函数的系数不同,插值函数满足： , ,，（10）；其中 、 、 为三角形单元结点的坐标。
4.2 单元刚度矩阵
（1）对于稳态问题。
， （11）
系数： ， ， ； ， ， ， ， ，
（2）当结点i和j都在边界C上时，见图6。
，（12）； ，（13）
式中： —单元系数矩阵； —和单元条件有关的单元列向量；A—三角形单元面积，m2； —边界单元的边界长度，m； —材料的导热系数，W/（m•℃）；h—表面换热系数，W/（m2•℃），单边界为第一类边界时，h取1012；
4.3 总刚度矩阵
平面中，把单元刚度矩阵按照对号入座的方法，合成总刚度矩阵。用改进平方根求解线性方程组，得到求解区域温度场。并且计算一个径向温度场，仅为求解一次正定的稀疏矩阵，可以应用改进平方根法进行求解，可大大提高了计算效率。
，（14）； ，（15）
式中： —温度总刚度矩阵； —系数矩阵； —和单元条件有关的列向量； —未知温度的列向量； —边界温度或环境温度。
五、结束语
建立热力管道直埋敷设的单管及双管物理及数学模型；以单管为例给出了不均匀网格的划分方法和模型的有限元求解方法，提高计算效率。利用该方法可以积分求出单位长度的散热量和管道的沿程温降，为实际直埋敷设热力管道运行做出技术支持。
参考文献：
[1] 孔祥谦．有限单元法在传热学中的应用[M]．北京：科学出版社，1986．
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。
关键词：热力管道 径向温度场 网格划分 有限元
1传热分析
热力管道多采用架空、直埋敷设。直埋热力管道一般由钢管、保温层、保护层组成，直埋热力管道内水或蒸汽通过对流换热将热量传递给管道内壁，然后通过导热将热量传递给管道外壁、保温层、保护层及土壤，再从地表以辐射及对流换热方式将热量传递给大气。为简化传热模型，假设：直埋热力管道内介质为稳定的湍流；忽略管道内流体与壁面的对流换热热阻；管内壁温度为流体温度；土壤热物性为常数。
2单管稳态径向温度场模型
考虑传热的对称性，单管直埋管道周围径向土壤温度场物理模型，见图1。取某个截面进行研究，其导热为二维稳态。左边界除管道内按常壁温计算外，其余为绝热边界；在距离管道中心一定距离处管道的热影响可以忽略，因此右边界也按绝热边界处理。模型下边界取大地恒温层温度[1]，为第一类边界条件；模型上边界为大地表面，与大气进行对流及辐射换热，为第三类边界条件。
图1图2 图3
管道运行稳态时管道周围土壤温度场的传热微分方程为：
，（1）
式中： —土壤温度，℃； —土壤导热系数，W/（m•℃）。
（1）左边界除管道以外部分的边界条件： ，（2）
（2）管道边界条件： ，（3）
（3）右边界条件： ，（4）
（4）上边界条件： ，（5）；
（5）下边界条件：
，（6）
式中： —管道埋深， ； —管道水平影響区域距离， ； —恒温层深度， ； —恒温层温度，℃； —管道内壁温度，℃； —管道内半径， ； —地表与大气的对流换热系数，W/（m2•℃）；其中 由下式确定：，（7）。 —风速，m/s。
3双管稳态径向温度场模型
3.1模型建立
考虑传热的对称性，双管直埋管道周围径向土壤温度场物理模型，见图2。管道运行稳态时管道周围土壤温度场的传热微分方程同式（1）。边界条件的数学表达式：
，（8）
，（9）
式中： —两管道中心间距的一半， ；其余边界条件同式（4）（5）（6）。
3.2网格划分
（1）有限元法。有限元法适用于复杂的求解区域、并且处理复杂边界有着非常显著的优越性。考虑到求解区域不边界的不规则性，本文采用有限元法进行求解。对于稳态二维问题，以单管直埋管道为例，采用三角形单元剖分求解区域。求解区域采用不均匀网格剖分，将求解区域分为4个区域，见图3。区域I：管道内壁到管外最大覆盖层外壁。该区域为不同的材料，划分网格采用同心圆，即保证节点落在材料的交界面上，这样可以保证每个单元只含有一种材料，共划分网格n1层。区域Ⅱ：区域I外边界和上至地面、右至埋深、下至2倍埋深的区域。该区域的网格剖分采用等圆心不等半径的方式，划分为n2层。首先从圆心引出射线，射线落在区域Ⅱ中的线段长度为l，将线段不均的分成n2份d1，d2，d3，…，dn2，其外层线段与内层线段比i=di+1/di为给定值，i值大于1，本文推荐采用1.05～1.5范围内。横坐标与相邻的Ⅱ、Ⅲ区域边界相同，纵坐标从上至下按比例i递增，沿y轴方向共划分n4层。区域I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ经过上述划分形成有限个四边形，连接四边形的两个顶点，形成三角形单元。
（2）网格划分结果。见图4。图4（a）显示了整个区域的网格划分结果。图4（b）局部放大了区域I、Ⅱ网格划分的结果，划分规律，本文中采用较为稀疏的网格，实际计算时可以通过加大n1、n2、n3、n4和m的数值来加密网格。节点编号和单元编号选择从里到外、从上到下和从左到右三种原则进行划分。
4温度场求解方法
4.1 温度插值函数
对于三角形单元，每个单元e内的温度场离散成只于三个顶点温度 、 、 有关的插值函数， 。每个单元插值函数的系数不同,插值函数满足： , ,，（10）；其中 、 、 为三角形单元结点的坐标。
4.2 单元刚度矩阵
（1）对于稳态问题。
， （11）
系数： ， ， ； ， ， ， ， ，
（2）当结点i和j都在边界C上时，见图6。
，（12）； ，（13）
式中： —单元系数矩阵； —和单元条件有关的单元列向量；A—三角形单元面积，m2； —边界单元的边界长度，m； —材料的导热系数，W/（m•℃）；h—表面换热系数，W/（m2•℃），单边界为第一类边界时，h取1012；
4.3 总刚度矩阵
平面中，把单元刚度矩阵按照对号入座的方法，合成总刚度矩阵。用改进平方根求解线性方程组，得到求解区域温度场。并且计算一个径向温度场，仅为求解一次正定的稀疏矩阵，可以应用改进平方根法进行求解，可大大提高了计算效率。
，（14）； ，（15）
式中： —温度总刚度矩阵； —系数矩阵； —和单元条件有关的列向量； —未知温度的列向量； —边界温度或环境温度。
五、结束语
建立热力管道直埋敷设的单管及双管物理及数学模型；以单管为例给出了不均匀网格的划分方法和模型的有限元求解方法，提高计算效率。利用该方法可以积分求出单位长度的散热量和管道的沿程温降，为实际直埋敷设热力管道运行做出技术支持。
参考文献：
[1] 孔祥谦．有限单元法在传热学中的应用[M]．北京：科学出版社，1986．
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。