摘 要:利用二元一次不等式的这一几何意义,可以解决平面几何中关于点与直线的位置关系的问题,并且会给解析几何的计算带来很大的简化. 本文主要通过两个具体的问题来说明二元一次不等式几何意义可以简化平面解析几何的相关运算.
　　关键词:二元一次不等式;几何意义;直线与点的位置
　　
　　平面解析几何所用的代数方法主要包括方程、函数、不等式、向量等.
　　二元一次不等式可以表示直角坐标系内的一个区域,并且我们常用“选点法”来确定二元一次不等式所表示的平面区域,它的步骤如下:任选一个不在直线上的点,检验它的坐标是否满足所给的不等式. 若满足,则该点所在的一侧即为不等式所表示的区域;否则,直线的另一侧为所示的平面区域.
　　如果要画出不等式3x+4y-12>0所表示的平面区域,我们可以先作出直线3x+4y-12=0,选不在直线上的点(0,0)代入3x+4y-12发现小于0,所以不包含(0,0)的区域即为不等式3x+4y-12>0所表示的平面区域(如图1).
　　
　　图1
　　二元一次方程Ax+By+C=0表示的是直线,在直线的两侧的点分别满足Ax+By+C<0与Ax+By+C>0,并且两侧符号相反. 因此点与直线的相对位置关系可以用不同的不等式或方程来表示,从而使得解析几何的计算得以简化,本文将用两个解析几何问题加以说明.
　　问题1已知点A(2,-2),B(-2,4),且直线l:y=kx+6与线段AB相交,则k的取值范围是.
　　分析直线l:y=kx+6,即方程kx-y+6=0. 由于l与线段AB相交,若直线不通过端点A,B,则A,B两点分别在直线l的两侧,所以代入方程的左侧分别大于0与小于0,因此(2k+2+6)(-2k-4+6)<0. 若直线不通过端点时,端点坐标代入方程成立,所以(2k+2+6)(-2k-4+6)≤0,即(2k+8)(-2k+2)≤0,所以k≤-4或k≥1.
　　利用点与直线的位置关系,将点与直线的位置用不等式或方程来表示,将一个直线与线段的交点问题转化成为一个不等式的解集问题. 此解法与用数形结合方法来确定直线斜率方法相比较,更能体会到解析几何的本质,即用代数的方法来解决几何的问题.
　　问题2已知△ABC的顶点坐标为A(2,8),B(-4,0),C(4,-6),求∠ABC的平分线所在直线l的方程.
　　分析顶点坐标为A(2,8),B(-4,0),C(4,-6),易得直线AB与直线BC的方程分别为4x-3y+16=0,3x+4y+12=0.取直线l上的动点P(x,y),由根据角平分的性质,角平分线上的点到角两边的距离相等,则P到直线AB与直线BC的距离相等,即=. 由于点P在直线AB的右下方,4x-3y+16>0,又在直线BC的右上方,3x+4y+12>0,所以可以直接去绝对值,从而得到4x-3y+16=3x+4y+12,即x-7y+4=0,所以∠ABC的平分线所在直线l的方程为x-7y+4=0.
　　
　　图2
　　利用点与直线的位置关系,将条件转化成不等式或方程,然后将不等式去掉绝对值符号,简化绝对值方程,进而化简难题,也避免了多解的出现.