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摘 要 数学思想方法是数学的灵魂，数学思想是对数学知识和方法本质的认识，数学方法是解决数学问题，体现数学思想的手段和工具，加强数学思想方法的教学对于抓好双基培养能力，提高学生的思维品质具有重要的作用。本文将对平时教学中一些基本的数学思想和数学方法加以归纳阐述。
关键词 数学思想 数学方法 数形结合 化归法
中图分类号：G424 文献标识码：A
Mathematics Teaching Should Enhance the
Penetration of Mathematical Thinking
ZHUANG Tianwei
（Zhangzhou Pinghe Wuzhai Middle School， Zhangzhou， Fujian 363702）
Abstract Mathematical thinking is the soul of mathematics， mathematical thinking is a method of mathematical knowledge and understanding of the nature， mathematical methods to solve mathematical problems， mathematical ideas reflect the means and tools to strengthen the teaching of mathematical thinking ability to grasp the double base， improve the quality of student thinking has an important role. This paper summarizes and elaborates some basic mathematical ideas and mathematical methods in teaching.
Key words mathematical thinking； mathematical method； combination of number and shape； transformation method
数学教学内容始终反映着两条线，即数学基础知识和数学思想方法，数学教材中的每一章节乃至每一道题都体现着这两条线的有机结合，没有脱离数学知识的数学，数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识，在数学教材中，很多题目隐含着常用的数学思想方法，数学方法是联系知识与能力的纽带，对发展学生数学能力，提高思维水平都具有十分重要的作用。①在基本概念、定理公式及例题示范中，一定要讲思想、讲方法，因此，在教学中可进行以下几个方面数学思想方法的渗透。
1 数学模型法
许多实际问题和数学问题的解决都依赖于能从中抽象出用数学符号语言或图象语言刻划表达的某种数学结构即建立数学模型，其中包括建立方程不等式、函数等。
例 1 函数 （） 的定义或为且满足 （）= （）·+1，求 （） 的表达式。
分析：显然 （） 的表达式可以含有，从方程的观点看，已知等式可看成以 （） ， （）为未知量，，1为已知量的方程，由于一个方程含有两个未知数，无法求解考虑再建立一个含有 （） ， （）的等式，与已知等式构成方程组，消元解方程组，即可求出 （） 的表达式。
解：以为自变量得等式 （） = （）·+1
由方程组 得 （） =
數学模型是由已知与未知构成的矛盾统一体，是从已知探索未知的桥梁，如何从问题的数量关系分析着手，运用数学语言，等号将问题的隐含的数量关系转化为数学模型（方程、不等式、函数）这应贯穿于数学上。②
2 化归法
化归法，就是把问题进行变换转化为容易解决和已经解决的问题的思想方法。
图1 图2
例 2 如图1，在四边形ABCD中，∠A = 60，AD+BC=AB=DC=1 求：四边形ABCD的面积？
分析：很显然是无法直接求出一般四边形ABCD的面积。由AB=AD+BC使我们想到延长AD至E使DE=BC，连结BE，BD则△ABE为等边三角形，容易求出S△ABE，由AB=DC和DE=BC可证△ABE≌△DBC，至此求四边形ABCD的面积转化为求S△ABE。
解：延长AD至E使ED=BC连接EB，DB，∵AB=AD+BC，DE=BC，∴AB=AD+DE=AE，又∵∠A = 60，∴△ABE是等边三角形。S△ABE = AB·AE ×∠A = ∵△ABE是等边三角形，∴AB=EB。又∵AB=DC，∴EB=DC而DE=BC，DBh公共边，∴△BDE △DBC。
S四边形ABCD=S△ABE=
3 数形结合思想
数学结合思想是通过数形间的对应关系来研究解决问题的思想方法，数形结合，即是“形”中觅“数”，“数”中思“形”，把要研究的问题的数量关系与空间图形结合起来，华罗庚说：“数”缺“形”少直观，“形”离“数”难入微如根据问题需要，可把数量关系的问题化为图形的性质去求解，或把图形性质问题化为数量关系来研究。③
例3：已知5cosA+6cosB=5，5sinA=6 sinB且A、B都是锐角，求+ B及sinA和cosB的值。
分析：不妨对两三角等式作一下认真研究，5sinA是斜边为5的直角三角形中锐角A所对的直角边长，6 sinB是斜边为6的直角三角形中锐角B反对直角边长，二者相等，说明这两条直角边长可公共。相应地5cosA与6 sinB是这两个直角三角形的另一直角边长，其和为5，说明A、B在公共边的两旁，于是我们可构造如图的△ABC。 解：如图2作△ABC使AB=AC=5，BC=6，过C作CD⊥AB于D，则CD=5sinA=6 sinB，AD=5cosA，BD=6sinB且5cosA+6 sinB=AB=5，∵AB=AC，有∠B=∠ACB，∠BAC+2∠B =150 B=90
这是数形结合的应用，它是一种重要的解题思想方法，主要是通过观察已知条件，联想几何模型，从而构造出符合条件的几何图形，这种方法常常可化“虚”为“实”化难为易。
4 函数与方程思想
函数与方程均为中学数学的重要内容，同时也是解决一类数学问题经常用到的基本数学思想。
例4 如果圆柱轴截面周长L这定值，那么圆柱体积的最大值是多少？
解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱高H =
∴V圆柱=·= · ·
≤ （）2=（）3
∴当=，即 = 时V圆柱最大=
与函数概念密切联系的是方程，因此方程的思想与函数的思想也是密切相关的。④
5 变量变换法
在学习指数函数，对函数及三角函数知识时，都有求复合函数的值域、单调区域，最值等问题。解决这类问题都要用变量变换法，这是教学中又一种广泛应用的思想方法，在学习三角函数性质后，学生可进一步探索如何用变量变换法解决较复杂的问题。
例：求函数 （）= 的最大值和最小值。
分析：学生学习了三角函数性质后，初遇此题还难以着手，此时可将问题退缩到特殊情况来寻求解题思路，这也是一种常用的思想方法，此时把题目改成 （）=让学生求解。学生利用“三角化”一章所学知识，容易想到变形 （）=，从而设=的项，进行变量变换，使原函数化为以t为自变量的二次函数即可，这就为解答原题铺平了道路。
6 分类思想
分类思想是一切科学研究的基本思想，分类应掌握不重复，不遗漏考虑问题要全面。
例：已知抛物线 = +（+3）+4的开口向下，它与轴交于点A与点B，与轴交于点C，如果△ABC是等腰三角形，是否存在的值；使这一抛物线关于轴对称？若存在，请找出的值，若不存在，请说明理由。
分析，由已知可得C（0，4），若令=0，便可解得=3，=，不妨設A（3，0），B（，0）（<0），则AB、BC均可以用表示，AC=5，再由等腰三角形，分别考虑AB=AC，AB=BC与AC=BC三种情况，便可求出三个不同的值，从而只能考虑+3的值是否为0就行了。
解：因为当=0时，=4，所以C点坐标为（0，4）。
由+（+3）+4=0得=3，=，∴A（3，0），B（，0），又因为抛物线开口向下，<0，所以AB =∣3 + ∣= ，AC = 5，BC=
（1） 如果AB=BC，即=5，解得=
∵+3=≠0，∴抛物线关于轴不对称。
（2） 如果AB=BC，即=，得=
∵+3=≠0，∴抛物线关于轴不对称。
（3） 如果AC=BC，即=5，得=或=
因为+3=0，所以抛物线关于轴对称。
综上可知，存有=，使抛物线关于轴对称。
注释
① 吴炯圻，林培榕.数学思想方法.厦门大学出版社，2001：348-349.
② 蔡晔.中考·奥赛全程对接.机械工业出版社，2007.
③ 吴小菲.2000年中学生数理化.机械工业出版社，2000.
④ 项昭义，周春荔.全国金牌奥赛.京华出版社，2011
关键词 数学思想 数学方法 数形结合 化归法
中图分类号：G424 文献标识码：A
Mathematics Teaching Should Enhance the
Penetration of Mathematical Thinking
ZHUANG Tianwei
（Zhangzhou Pinghe Wuzhai Middle School， Zhangzhou， Fujian 363702）
Abstract Mathematical thinking is the soul of mathematics， mathematical thinking is a method of mathematical knowledge and understanding of the nature， mathematical methods to solve mathematical problems， mathematical ideas reflect the means and tools to strengthen the teaching of mathematical thinking ability to grasp the double base， improve the quality of student thinking has an important role. This paper summarizes and elaborates some basic mathematical ideas and mathematical methods in teaching.
Key words mathematical thinking； mathematical method； combination of number and shape； transformation method
数学教学内容始终反映着两条线，即数学基础知识和数学思想方法，数学教材中的每一章节乃至每一道题都体现着这两条线的有机结合，没有脱离数学知识的数学，数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识，在数学教材中，很多题目隐含着常用的数学思想方法，数学方法是联系知识与能力的纽带，对发展学生数学能力，提高思维水平都具有十分重要的作用。①在基本概念、定理公式及例题示范中，一定要讲思想、讲方法，因此，在教学中可进行以下几个方面数学思想方法的渗透。
1 数学模型法
许多实际问题和数学问题的解决都依赖于能从中抽象出用数学符号语言或图象语言刻划表达的某种数学结构即建立数学模型，其中包括建立方程不等式、函数等。
例 1 函数 （） 的定义或为且满足 （）= （）·+1，求 （） 的表达式。
分析：显然 （） 的表达式可以含有，从方程的观点看，已知等式可看成以 （） ， （）为未知量，，1为已知量的方程，由于一个方程含有两个未知数，无法求解考虑再建立一个含有 （） ， （）的等式，与已知等式构成方程组，消元解方程组，即可求出 （） 的表达式。
解：以为自变量得等式 （） = （）·+1
由方程组 得 （） =
數学模型是由已知与未知构成的矛盾统一体，是从已知探索未知的桥梁，如何从问题的数量关系分析着手，运用数学语言，等号将问题的隐含的数量关系转化为数学模型（方程、不等式、函数）这应贯穿于数学上。②
2 化归法
化归法，就是把问题进行变换转化为容易解决和已经解决的问题的思想方法。
图1 图2
例 2 如图1，在四边形ABCD中，∠A = 60，AD+BC=AB=DC=1 求：四边形ABCD的面积？
分析：很显然是无法直接求出一般四边形ABCD的面积。由AB=AD+BC使我们想到延长AD至E使DE=BC，连结BE，BD则△ABE为等边三角形，容易求出S△ABE，由AB=DC和DE=BC可证△ABE≌△DBC，至此求四边形ABCD的面积转化为求S△ABE。
解：延长AD至E使ED=BC连接EB，DB，∵AB=AD+BC，DE=BC，∴AB=AD+DE=AE，又∵∠A = 60，∴△ABE是等边三角形。S△ABE = AB·AE ×∠A = ∵△ABE是等边三角形，∴AB=EB。又∵AB=DC，∴EB=DC而DE=BC，DBh公共边，∴△BDE △DBC。
S四边形ABCD=S△ABE=
3 数形结合思想
数学结合思想是通过数形间的对应关系来研究解决问题的思想方法，数形结合，即是“形”中觅“数”，“数”中思“形”，把要研究的问题的数量关系与空间图形结合起来，华罗庚说：“数”缺“形”少直观，“形”离“数”难入微如根据问题需要，可把数量关系的问题化为图形的性质去求解，或把图形性质问题化为数量关系来研究。③
例3：已知5cosA+6cosB=5，5sinA=6 sinB且A、B都是锐角，求+ B及sinA和cosB的值。
分析：不妨对两三角等式作一下认真研究，5sinA是斜边为5的直角三角形中锐角A所对的直角边长，6 sinB是斜边为6的直角三角形中锐角B反对直角边长，二者相等，说明这两条直角边长可公共。相应地5cosA与6 sinB是这两个直角三角形的另一直角边长，其和为5，说明A、B在公共边的两旁，于是我们可构造如图的△ABC。 解：如图2作△ABC使AB=AC=5，BC=6，过C作CD⊥AB于D，则CD=5sinA=6 sinB，AD=5cosA，BD=6sinB且5cosA+6 sinB=AB=5，∵AB=AC，有∠B=∠ACB，∠BAC+2∠B =150 B=90
这是数形结合的应用，它是一种重要的解题思想方法，主要是通过观察已知条件，联想几何模型，从而构造出符合条件的几何图形，这种方法常常可化“虚”为“实”化难为易。
4 函数与方程思想
函数与方程均为中学数学的重要内容，同时也是解决一类数学问题经常用到的基本数学思想。
例4 如果圆柱轴截面周长L这定值，那么圆柱体积的最大值是多少？
解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱高H =
∴V圆柱=·= · ·
≤ （）2=（）3
∴当=，即 = 时V圆柱最大=
与函数概念密切联系的是方程，因此方程的思想与函数的思想也是密切相关的。④
5 变量变换法
在学习指数函数，对函数及三角函数知识时，都有求复合函数的值域、单调区域，最值等问题。解决这类问题都要用变量变换法，这是教学中又一种广泛应用的思想方法，在学习三角函数性质后，学生可进一步探索如何用变量变换法解决较复杂的问题。
例：求函数 （）= 的最大值和最小值。
分析：学生学习了三角函数性质后，初遇此题还难以着手，此时可将问题退缩到特殊情况来寻求解题思路，这也是一种常用的思想方法，此时把题目改成 （）=让学生求解。学生利用“三角化”一章所学知识，容易想到变形 （）=，从而设=的项，进行变量变换，使原函数化为以t为自变量的二次函数即可，这就为解答原题铺平了道路。
6 分类思想
分类思想是一切科学研究的基本思想，分类应掌握不重复，不遗漏考虑问题要全面。
例：已知抛物线 = +（+3）+4的开口向下，它与轴交于点A与点B，与轴交于点C，如果△ABC是等腰三角形，是否存在的值；使这一抛物线关于轴对称？若存在，请找出的值，若不存在，请说明理由。
分析，由已知可得C（0，4），若令=0，便可解得=3，=，不妨設A（3，0），B（，0）（<0），则AB、BC均可以用表示，AC=5，再由等腰三角形，分别考虑AB=AC，AB=BC与AC=BC三种情况，便可求出三个不同的值，从而只能考虑+3的值是否为0就行了。
解：因为当=0时，=4，所以C点坐标为（0，4）。
由+（+3）+4=0得=3，=，∴A（3，0），B（，0），又因为抛物线开口向下，<0，所以AB =∣3 + ∣= ，AC = 5，BC=
（1） 如果AB=BC，即=5，解得=
∵+3=≠0，∴抛物线关于轴不对称。
（2） 如果AB=BC，即=，得=
∵+3=≠0，∴抛物线关于轴不对称。
（3） 如果AC=BC，即=5，得=或=
因为+3=0，所以抛物线关于轴对称。
综上可知，存有=，使抛物线关于轴对称。
注释
① 吴炯圻，林培榕.数学思想方法.厦门大学出版社，2001：348-349.
② 蔡晔.中考·奥赛全程对接.机械工业出版社，2007.
③ 吴小菲.2000年中学生数理化.机械工业出版社，2000.
④ 项昭义，周春荔.全国金牌奥赛.京华出版社，2011