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The Application of Random Process Theory in the Inventory Management
——Working on the Continuous and Discrete s,Q Model
摘要:基于随机过程理论对物流活动中的库存管理进行优化。在传统的市场需求固定的基础上对顾客需求是随机的情形进行分析,推导模型并进行求解。现代库存管理追求的是效益最大化(或成本最低化),以s,Q模型为例,分别对需求是连续的和离散的两种情况以成本最低为目标函数进行建模,最后通过算例分析得出库存最优方案。
关键词:现代库存管理;随机过程理论;s,Q模型
中图分类号:F224文献标识码:A
Abstract: This paper optimizes the inventory management of logistics with the application of random process theory. Based on the traditional model of fixed-requirement, the stochastic-requirement model was analyzed and worked out. The modern inventory management seeks for the largest benefit(or the lowest cost). With model of s,Q, the article sets the goal function with goal of lowest cost for the continuous-requirement model and the discrete-requirement model. The last part works out the goal function.
Key words: modern inventory management; random process theory; s,Q model
1简介
从实物角度分析物流,运输和仓储是物流基本的关键问题。运输可以创造商品在空间上的价值,而仓储则可以创造商品在时间上的价值。从许多微观案例来看,仓储管理已成为供应链管理的核心环节。这是因为仓储总是出现在物流各环节的结合部:生产的粗加工与精加工之间、批发与零售之间、不同运输方式转换之间,等等。传统的仓储业是以收保管费为商业模式,希望自己的仓库总是满满的,这种模式与物流的宗旨背道而驰。现代物流以整合流程、协调上下游为己任,静态库存越少越好,其商业模式也建立在物流总成本的考核之上。库存控制以服务质量、运营成本为控制目标,在追求成本最低的同时应适当考虑企业的服务水平。
2确定与随机顾客需求的分析比较
根据市场需求的确定与否,可以将库存模型分为确定型储存模型和随机储存模型。
2.1确定型市场需求(如图1所示)
对于最简单的确定型库存模型目标函数的推导:此处假设提前期固定,瞬时进货,不允许缺货。参数设定:
Q:每次进货量,C:每次订购量,H:单位时间单位货物存储费(管理费用),D:需求速度(或单位时间内需求)。
需求曲线如图2所示。
ft= HDt+
解得:
Q=
2.2随机型市场需求(如图3所示)
考虑到显示中的实际情况,随机型市场需求更符合现实情况。特别是在市场经济时代,研究随机型市场需求更加具有实际意义。
3s,Q模型的求解
在计算库存总费用时,我们把费用分成三部分:订购总费用、库存总费用和缺货总费用。一般情况下我们只考虑因缺货而引起的直接损失,而未考虑每次缺货的间接损失(例如消费者每次要求订购而进行的打折)[2]。
3.1参数设定
Cs,Q:目标成本函数;
x:顾客需求;
fx或Px:顾客需求密度函数;
D:单位时间需求量;
C :每次订购成本(订货费分为订购费和货物成本费用,由于每次所订货物的数量为一常数,货物成本费用可以不予考虑);
H:每件货物单位时间存储成本;
C :单位时间单位产品缺货成本(与缺货量有关);
s:再订货点;
Q:每次订货数量;
L:提前时间(从提出订货的时刻起到交货的时刻位置的时间段,为一常数或随机变量);
dL:提前时间需求(是一个关于L的函数);
P :提前时间缺货概率;
Q :提前时间缺货量;
B :每次缺货损失(与缺货量无关)。
3.2目标函数推导
Cs,Q=c × +HQ+s-dL+s-dL÷2+C ×Q × +B ×P ×(1)
其中第一项表示单位时间订购成本,第二项表示缺货成本,第三项表示因缺货而失去销售机会产品的成本(与缺货量有关),第四项表示因缺货造成的损失(与缺货量无关,只要缺货就会产生)。为了与实际情况更好的相对应,在计算缺货损失时,考虑每次缺货成本是非常必要的。
P = fxdx(2)
Q = x-sfxdx (3)
由(1)式可知,在目标函数中含有Q的一次项,在非负情况下不存在最大值。因此目标函数对s和Q求偏导,再令其等于零,便可求得最小值。
(1)式对 s和Q分别求偏导得:
=H-C fxdx-Bfs=0 (4)
=-C+ -C Q-B P=0(5)
(2)式对s求导数得:
=-fs(6)
(3)式对s求导数得:
=- fxdx(7)
由(4)、(5)、(6)、(7)得:
Q=(8)
P = fxdx= (9)
由于(3)、(4)两式中含有相互依赖的未知数,不能一下解出最终结果,为此采用逐步逼近的迭代解法,步骤如下:
(1)先将本问题当作确定型模型来求解,最优解为:
Q =(10)
(2)应用Q ,代入(4)式中,算出s,由s计算出Q 和P ;
(3)将Q 和P 代入(3)式求出Q ;
(4)应用Q 按上述步骤求出s ;
(5)如此迭代,直到Q 和s 不再变化为止,所得的最终值就是最佳订购点s和最佳订购量Q。
算例分析:
C =10,B =4,C =3,H=2
彩电代理商甲向某彩电公司发出订单,参数如上,每次从发出订单到收货的时间间隔不变,为五分之一个周期。(假设:每次到货后,库存量大于s)顾客总需求连续型模型分析:当在提前期0,L上,需求服从均值λ=5的指数分布,求Q和s。
fx= e x≥0
一个周期内的需求量D=5,λ=25。
根据式(10)得:
Q = = =5
根据式(9)得:
fxdx= =
得:
e = s=-5ln
P = fxdx=e =
Q = x-sfxdx= x-s e dx=5e =
经过6步迭代后得:
Q ≈Q =21.58
e = , s=-5ln0.454=3.94
考虑离散型市场需求的s,Q模型[3]:
P = Px (11)
Q = x-sPx (12)
设:顾客i对商品的需求为D 且服从参数P的贝努里分布,时常顾客M服从参数λ的泊松分布。
假设:D 独立同分布,M与D 之间相互独立。
由经典概率论著作可知[4]:设非负离散型随机变量x的概率分布Px=i=h ,i=1,2,3……,则随机变量的母函数为:
Hs= h s
x的均值μ =h'1,x的方差σ=H''1+H'1-H'1
D 的母函数为Y s= bjs
因为市场需求x为所有单个顾客需求的总和,即市场需求x=D +D +…+D
所以Hs= Y s= h Y s=HYs
由以上得:μ =μ μ ,σ=σ μ +σμ
Hs=HYs=e
即市场需求服从参数为λP的复合泊松分布。目标函数与(1)式相同。
算例分析:
假设单个消费者对某商品的需求服从参数P=0.6的贝努里分布,市场总的消费者数量服从λ=10的泊松分布,其他参数与连续型算例相同。求s和Q。
提前期L内的平均需求量为:
kPk=λP=6
则周期内的平均需求量为:D=5λP=30
根据式(10)得:
Q = = =10
根据式(9)得:
Px= =
查表得s=7
经过三步迭代后得
Q ≈Q =19.54;s=7
计算结束。
4结论与展望
运用随机过程理论解决供应链管理中的库存管理问题,通过简单的迭代算法就能得到较满意的结论。但是这仅仅限于单级库存问题,对于多级库存问题,运用随机过程理论不一定能通过简单应用就得到满意的结论。
参考文献:
[1] 汤代焱. 运筹学[M]. 长沙:中南大学出版社,2005.
[2] 林勇,郑阿美. 面向随机需求的安全库存管理研究[J]. 物流技术,2006(10):20-23.
[3] 孔庆霞,鲁其辉. 随机顾客选择需求模型及其在库存管理中的应用[J]. 物流技术,2006(7):127-130.
[4] 林元烈,等. 随机数学引论[M]. 北京:清华大学出版社,2003.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
——Working on the Continuous and Discrete s,Q Model
摘要:基于随机过程理论对物流活动中的库存管理进行优化。在传统的市场需求固定的基础上对顾客需求是随机的情形进行分析,推导模型并进行求解。现代库存管理追求的是效益最大化(或成本最低化),以s,Q模型为例,分别对需求是连续的和离散的两种情况以成本最低为目标函数进行建模,最后通过算例分析得出库存最优方案。
关键词:现代库存管理;随机过程理论;s,Q模型
中图分类号:F224文献标识码:A
Abstract: This paper optimizes the inventory management of logistics with the application of random process theory. Based on the traditional model of fixed-requirement, the stochastic-requirement model was analyzed and worked out. The modern inventory management seeks for the largest benefit(or the lowest cost). With model of s,Q, the article sets the goal function with goal of lowest cost for the continuous-requirement model and the discrete-requirement model. The last part works out the goal function.
Key words: modern inventory management; random process theory; s,Q model
1简介
从实物角度分析物流,运输和仓储是物流基本的关键问题。运输可以创造商品在空间上的价值,而仓储则可以创造商品在时间上的价值。从许多微观案例来看,仓储管理已成为供应链管理的核心环节。这是因为仓储总是出现在物流各环节的结合部:生产的粗加工与精加工之间、批发与零售之间、不同运输方式转换之间,等等。传统的仓储业是以收保管费为商业模式,希望自己的仓库总是满满的,这种模式与物流的宗旨背道而驰。现代物流以整合流程、协调上下游为己任,静态库存越少越好,其商业模式也建立在物流总成本的考核之上。库存控制以服务质量、运营成本为控制目标,在追求成本最低的同时应适当考虑企业的服务水平。
2确定与随机顾客需求的分析比较
根据市场需求的确定与否,可以将库存模型分为确定型储存模型和随机储存模型。
2.1确定型市场需求(如图1所示)
对于最简单的确定型库存模型目标函数的推导:此处假设提前期固定,瞬时进货,不允许缺货。参数设定:
Q:每次进货量,C:每次订购量,H:单位时间单位货物存储费(管理费用),D:需求速度(或单位时间内需求)。
需求曲线如图2所示。
ft= HDt+
解得:
Q=
2.2随机型市场需求(如图3所示)
考虑到显示中的实际情况,随机型市场需求更符合现实情况。特别是在市场经济时代,研究随机型市场需求更加具有实际意义。
3s,Q模型的求解
在计算库存总费用时,我们把费用分成三部分:订购总费用、库存总费用和缺货总费用。一般情况下我们只考虑因缺货而引起的直接损失,而未考虑每次缺货的间接损失(例如消费者每次要求订购而进行的打折)[2]。
3.1参数设定
Cs,Q:目标成本函数;
x:顾客需求;
fx或Px:顾客需求密度函数;
D:单位时间需求量;
C :每次订购成本(订货费分为订购费和货物成本费用,由于每次所订货物的数量为一常数,货物成本费用可以不予考虑);
H:每件货物单位时间存储成本;
C :单位时间单位产品缺货成本(与缺货量有关);
s:再订货点;
Q:每次订货数量;
L:提前时间(从提出订货的时刻起到交货的时刻位置的时间段,为一常数或随机变量);
dL:提前时间需求(是一个关于L的函数);
P :提前时间缺货概率;
Q :提前时间缺货量;
B :每次缺货损失(与缺货量无关)。
3.2目标函数推导
Cs,Q=c × +HQ+s-dL+s-dL÷2+C ×Q × +B ×P ×(1)
其中第一项表示单位时间订购成本,第二项表示缺货成本,第三项表示因缺货而失去销售机会产品的成本(与缺货量有关),第四项表示因缺货造成的损失(与缺货量无关,只要缺货就会产生)。为了与实际情况更好的相对应,在计算缺货损失时,考虑每次缺货成本是非常必要的。
P = fxdx(2)
Q = x-sfxdx (3)
由(1)式可知,在目标函数中含有Q的一次项,在非负情况下不存在最大值。因此目标函数对s和Q求偏导,再令其等于零,便可求得最小值。
(1)式对 s和Q分别求偏导得:
=H-C fxdx-Bfs=0 (4)
=-C+ -C Q-B P=0(5)
(2)式对s求导数得:
=-fs(6)
(3)式对s求导数得:
=- fxdx(7)
由(4)、(5)、(6)、(7)得:
Q=(8)
P = fxdx= (9)
由于(3)、(4)两式中含有相互依赖的未知数,不能一下解出最终结果,为此采用逐步逼近的迭代解法,步骤如下:
(1)先将本问题当作确定型模型来求解,最优解为:
Q =(10)
(2)应用Q ,代入(4)式中,算出s,由s计算出Q 和P ;
(3)将Q 和P 代入(3)式求出Q ;
(4)应用Q 按上述步骤求出s ;
(5)如此迭代,直到Q 和s 不再变化为止,所得的最终值就是最佳订购点s和最佳订购量Q。
算例分析:
C =10,B =4,C =3,H=2
彩电代理商甲向某彩电公司发出订单,参数如上,每次从发出订单到收货的时间间隔不变,为五分之一个周期。(假设:每次到货后,库存量大于s)顾客总需求连续型模型分析:当在提前期0,L上,需求服从均值λ=5的指数分布,求Q和s。
fx= e x≥0
一个周期内的需求量D=5,λ=25。
根据式(10)得:
Q = = =5
根据式(9)得:
fxdx= =
得:
e = s=-5ln
P = fxdx=e =
Q = x-sfxdx= x-s e dx=5e =
经过6步迭代后得:
Q ≈Q =21.58
e = , s=-5ln0.454=3.94
考虑离散型市场需求的s,Q模型[3]:
P = Px (11)
Q = x-sPx (12)
设:顾客i对商品的需求为D 且服从参数P的贝努里分布,时常顾客M服从参数λ的泊松分布。
假设:D 独立同分布,M与D 之间相互独立。
由经典概率论著作可知[4]:设非负离散型随机变量x的概率分布Px=i=h ,i=1,2,3……,则随机变量的母函数为:
Hs= h s
x的均值μ =h'1,x的方差σ=H''1+H'1-H'1
D 的母函数为Y s= bjs
因为市场需求x为所有单个顾客需求的总和,即市场需求x=D +D +…+D
所以Hs= Y s= h Y s=HYs
由以上得:μ =μ μ ,σ=σ μ +σμ
Hs=HYs=e
即市场需求服从参数为λP的复合泊松分布。目标函数与(1)式相同。
算例分析:
假设单个消费者对某商品的需求服从参数P=0.6的贝努里分布,市场总的消费者数量服从λ=10的泊松分布,其他参数与连续型算例相同。求s和Q。
提前期L内的平均需求量为:
kPk=λP=6
则周期内的平均需求量为:D=5λP=30
根据式(10)得:
Q = = =10
根据式(9)得:
Px= =
查表得s=7
经过三步迭代后得
Q ≈Q =19.54;s=7
计算结束。
4结论与展望
运用随机过程理论解决供应链管理中的库存管理问题,通过简单的迭代算法就能得到较满意的结论。但是这仅仅限于单级库存问题,对于多级库存问题,运用随机过程理论不一定能通过简单应用就得到满意的结论。
参考文献:
[1] 汤代焱. 运筹学[M]. 长沙:中南大学出版社,2005.
[2] 林勇,郑阿美. 面向随机需求的安全库存管理研究[J]. 物流技术,2006(10):20-23.
[3] 孔庆霞,鲁其辉. 随机顾客选择需求模型及其在库存管理中的应用[J]. 物流技术,2006(7):127-130.
[4] 林元烈,等. 随机数学引论[M]. 北京:清华大学出版社,2003.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文