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摘要：中國学生数学运算能力的获得部分缘于“题海战术”，这与作为核心素养的“数学运算”培养有些差距。因此，需进一步明晰小学数学教学中“数学运算”的相关问题。可从数的构成、四则运算的意义、运算律、运算规则四个方面重新审视数学运算中的算理。具体地，应注意四则运算意义、分类思维、有序思维、整体思维、具体思维、抽象思维的渗透。
关键词：数学运算运算意义思维渗透
数学运算对于数学学习十分重要。在国际数学教育比较中，中国学生在数学学习上的优势集中体现在数学运算上，这说明我国数学教育较为重视学生数学运算能力的培养，且效果也较为明显。然而，中国学生数学运算能力的获得部分缘于“题海战术”，这与作为核心素养的“数学运算”培养有些差距。因此，需进一步明晰小学数学教学中“数学运算”的相关问题。
一、“数学运算”培养的一个案例
本文选取的案例是《分数四则混合运算》一课。
（一）教材呈现
苏教版小学数学六年级上册《分数四则混合运算》中的例1，包含情境图（见下页图1）、问题“两种中国结各做18个，一共用彩绳多少米？”和两种算法（见下页图2、下页图3）。
这道例题的本意是，引导学生发现分数四则混合运算的运算顺序与整数相同，且在两种算法的比较中得出第二种算法的简便性，为后续简算教学做铺垫。例题之后是相应的练习题。
（二）教学设计
仅就这道例题而言，部分教师可能会将着力点放在分数四则混合运算的规律及后续的练习上。但从培养学生“数学运算”核心素养的角度来看，可对教学内容做如下改编：
首先，出示教材的情境图和“两种中国结各做10个，一共用彩绳多少米？”这一问题，旨在以简单的运算调动学生学习的积极性。
其次，呈现教材的另一个问题：“两种中国结各做18个，一共用彩绳多少米？”有了前一个问题的铺垫，学生应该能够较为顺利地得出第一种算法，此时，可以继续让学生思考“还可以用什么方法来解决”，得出第二种算法。然后，让学生比较两种算法，发现其中存在的运算规律，即乘法分配律同样适用于分数。
再次，让学生联系运算规律，思考第一问的分配律算法，旨在让学生进一步熟悉分数的运算规律，感知此时两种解法的复杂程度基本相同。然后，出示新的问题情境：“一种中国结每个用35米彩绳，另一种中国结每个用13米彩绳，两种中国结各做15个，一共用彩绳多少米？”让学生感受算法的简单或复杂由问题情境决定，应根据实际情况合理选择相应的算法。
最后，出示问题情境：“一种中国结每个用25米彩绳，做15个，另一种中国结每个用35米彩绳，做20个，一共用彩绳多少米？”让学生灵活地运用分数的运算规律。这里，可以相机引导学生总结分数四则运算的运算顺序和运算律，体会运算顺序和运算律的一般性。
二、“数学运算”培养的注意事项
我们可从四个方面重新审视“数学运算”中的算理：数的构成、四则运算的意义、运算律、运算规则。其中，数的构成是教学中经常强调的，教材的编写也遵循先认数后学运算的顺序;四则运算的意义是指加、减、乘、除的意义;运算律是运算的基本规律;运算规则是由运算律延伸的运算法则。由此，小学数学教学中“数学运算”的培养需要注意以下几个问题：
（一）四则运算意义的渗透
无论从哪个途径入手，从本质上来说，我们都是通过四则运算的意义去分析混合运算的运算顺序的。因此，相较于让学生明白为什么先乘、除后加、减，也许整体性地理解加、减、乘、除的意义更为重要。
加法，即统计相同性质的事物集合的总数时所用的计数方法。加法所指向的事物必须是相同性质的。比如，我们不可以用中国象棋的单价与它的个数相加，这是不符合现实意义的。
减法，即当一个已知群体，需要把单个个体或部分个体集合移除初始群体，再计数初始群体所剩个体数量时的运算行为。显然，减法是加法的逆运算，因此与加法拥有同样的现实意义。
乘法，即具有相同性质和数量的若干个集合相加，计算变化后集合的个体数量的运算行为。所以，乘法的本质还是加法。乘法的现实意义主要对应三种不同的类型：形如数量乘单价得到总价的类型，形如米乘米得到平方米的类型，形如数量乘倍数得到数量的类型。从这一程度上看，乘法的意义远比加法丰富。
除法，即求已知初始集合包含已知相同性质个体集合的个数的运算行为。显然，除法是乘法的逆运算，因此与乘法拥有同样的现实意义。
以上较为抽象的意义不能直接“给”学生，而要让他们在对混合运算的探究过程中自我内化，通过对一个个具体实例的分析，不断地渗透意义的理解。
（二）分类思维与有序思维的渗透
要处理计算顺序的问题，首先要处理能不能计算的问题。跳过后者直接对前者进行探讨是一种本末倒置的做法，因为这两个问题的背后是两种数学思维，即分类与有序。
分类在数学学习与生活中有着广泛的运用。它既是一种活动形式，如把男生、女生分为两类，把长方形与菱形归类在平行四边形中，等等;也是一种思维形式，一种抽象的数学思维形式，即将原有的事物按照一定的标准分门别类，从而反映其一些特征与属性。其中，标准是分类的关键。
例如，我们把加、减、乘、除四种运算进行分类，以它们不同的意义为标准，把加、减分为一类，称为一级运算;把乘、除分为一类，称为二级运算。这样，就能体现出两类运算的等级属性。因此，在混合运算问题中，能不能计算实际上指向一级运算的元素只能与一级运算的元素进行计算，二级运算的元素只能与二级运算的元素进行计算。如在25×18+35中，18与35就不能进行计算，因为35是一级运算的元素，而18是二级运算的元素，只能与另一个二级运算的元素25进行运算;而类似于25×15+35×20这样的式子，由于两个二级运算中间隔着一个一级运算，所以两个二级运算元素也不能直接进行运算。 可以看出，正是由于对加、减、乘、除进行了运算等级的分类，才能够讨论能不能运算的问题。其实，还可以思考：如果把加、乘分为一类，把减、除分为一类，就可以解决从左往右算这一算法问题。此外，分类应具有明确的目的性，而不应为了分类而分类，更不应刻意追求“与众不同”。
既然有了两类运算，自然就有了运算顺序的问题，这就涉及第二种思维——有序思维。
有序思维学生很早就体验过，数数就是一个典型的例子。无论以什么样的方式，数数都是按照顺序的——这其实就是数的双重意义中的序数意义（而用序数意义的最后一个数代表这些数的基数意义）。从数数活动发展出的有序思维十分广泛。而在这之前，会有一个有意或无意的分类过程，如一个一个数就是把单个东西作为一类，两个两个数就是把两个东西作为一类。
可以看出，有序思维是与分类思维密不可分的。两者从不同方面对事物进行了审视，但总体来说，都是通过思维的力量（这种思维的力量在混合运算中指向的就是对加、减、乘、除意义的理解）让我们对所审视的事物有更深的理解——这也可以被理解成是抽象的一种目的。在此，我们就可以明晰：先乘、除后加、减问题，实际上是一种在分类思维基础上的有序思维活动;想要探究顺序的问题，就必定要考虑分类的问题。
（三）整体思维的渗透
整体思维是贯穿整个数学学习过程的重要思维。分数学习中，一个苹果、一些苹果、半个苹果都能看作一个整體;代数学习中，a和a+b都能看作一个整体;到了更高层次的学习中，甚至可以把任何事物看作一个整体，如高中数学中的“设而不求”思想实际上也是一种整体思想。由此可见，学生对什么可以作为整体的思维实际上是一个不断扩充的过程——从一个物体到一些物体再到半个物体，是一种扩充，从a和a+b再到复杂的代数式，也是一种扩充。
在混合运算中，分步算式与综合算式的区别与联系就充分体现了整体思维。对于同一个问题，我们可以通过分步算式与综合算式两种形式进行计算。比如，对问题“马路左边有150棵果树;右边有120棵树，有6行，其中5行是果树。问：两边一共有多少果树？”分步列式，即用120÷6=20、20×5=100、100+150=250三个算式得到答案;综合列式，即用150+120÷6×5或120÷6×5+150一个算式得到答案。从意义上考察，能够把形如120÷6与120÷6×5这样的式子看成一个整体，是理解综合算式的关键所在。分步列式是把每一个意义都算出结果来，再进行意义关系的联结;而综合列式是列出每一个意义之间的关系，再进行计算。后者需要学生能够把一个式子也看成一个意义，知道它是一个意义主体。这实际上就体现了整体思维。
（四）具体思维与抽象思维的渗透
另一个值得研究的矛盾关系是具体与抽象。小学数学学习中，虽然需要具体的直观体验，但仍然少不了抽象——如上述所说的分类思维与有序思维即是一种抽象。
混合运算的意义探讨中，有教师运用数珠子的具体情境作为学习的载体，先数珠子，再将具体的珠子转化为圆片去数。这里的转化即是一种抽象，去除了原来具体的珠子的很多质的属性，使其量的特征更为明显。这实际上就是数学抽象的一个最为重要的目的——排除原有事物其他属性的干扰，以突出其量的特征。在此基础上，再通过圆片思考算式，从而使得算式从原来珠子的意义，转化为现在圆片的意义，得到更抽象、更广泛的意义。这也就指出了事物的抽象既在不断缩小其内涵，同时也在不断扩大其外延：原来的珠子抽象成了圆片，此时就可以把圆片当作其他具有相同数量关系的事物来看待，从而去研究更广泛的现实情境。这种从珠子到圆片再到算式的过程，就是一种不断抽象的过程，也是学生可以接受的、能够内化的过程。而且，这并不是终点。得到了抽象的算式，得到了最为广泛的意义后，学生应该在理解算式意义的基础上，去尝试赋予其具体意义，也就是编故事、创设情境，从而形成“具体—抽象—具体”的螺旋上升过程。此时的具体相比于之前珠子的具体已经是更高层次的了，它指向学生实际生活的方方面面：只要是拥有这种数量关系的情境，都是我们的“故事”。这实际上是一种自我意义的建构过程。由此，学生就从一个珠子的“故事”学习到了无数个“故事”。
*本文系江苏省社会科学基金项目“互联网时代下基础教育教师教学观念的转变与实践研究”（编号：18JYC001）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 郑毓信.数学思维与小学数学[M].南京：江苏教育出版社，2008.
[2] 彭亮，徐文彬.小学数学教学中“逻辑推理”的培养——从《长方形和正方形的面积公式推导》一课教学说起[J].教育研究与评论（小学教育教学），2019（8）.
关键词：数学运算运算意义思维渗透
数学运算对于数学学习十分重要。在国际数学教育比较中，中国学生在数学学习上的优势集中体现在数学运算上，这说明我国数学教育较为重视学生数学运算能力的培养，且效果也较为明显。然而，中国学生数学运算能力的获得部分缘于“题海战术”，这与作为核心素养的“数学运算”培养有些差距。因此，需进一步明晰小学数学教学中“数学运算”的相关问题。
一、“数学运算”培养的一个案例
本文选取的案例是《分数四则混合运算》一课。
（一）教材呈现
苏教版小学数学六年级上册《分数四则混合运算》中的例1，包含情境图（见下页图1）、问题“两种中国结各做18个，一共用彩绳多少米？”和两种算法（见下页图2、下页图3）。
这道例题的本意是，引导学生发现分数四则混合运算的运算顺序与整数相同，且在两种算法的比较中得出第二种算法的简便性，为后续简算教学做铺垫。例题之后是相应的练习题。
（二）教学设计
仅就这道例题而言，部分教师可能会将着力点放在分数四则混合运算的规律及后续的练习上。但从培养学生“数学运算”核心素养的角度来看，可对教学内容做如下改编：
首先，出示教材的情境图和“两种中国结各做10个，一共用彩绳多少米？”这一问题，旨在以简单的运算调动学生学习的积极性。
其次，呈现教材的另一个问题：“两种中国结各做18个，一共用彩绳多少米？”有了前一个问题的铺垫，学生应该能够较为顺利地得出第一种算法，此时，可以继续让学生思考“还可以用什么方法来解决”，得出第二种算法。然后，让学生比较两种算法，发现其中存在的运算规律，即乘法分配律同样适用于分数。
再次，让学生联系运算规律，思考第一问的分配律算法，旨在让学生进一步熟悉分数的运算规律，感知此时两种解法的复杂程度基本相同。然后，出示新的问题情境：“一种中国结每个用35米彩绳，另一种中国结每个用13米彩绳，两种中国结各做15个，一共用彩绳多少米？”让学生感受算法的简单或复杂由问题情境决定，应根据实际情况合理选择相应的算法。
最后，出示问题情境：“一种中国结每个用25米彩绳，做15个，另一种中国结每个用35米彩绳，做20个，一共用彩绳多少米？”让学生灵活地运用分数的运算规律。这里，可以相机引导学生总结分数四则运算的运算顺序和运算律，体会运算顺序和运算律的一般性。
二、“数学运算”培养的注意事项
我们可从四个方面重新审视“数学运算”中的算理：数的构成、四则运算的意义、运算律、运算规则。其中，数的构成是教学中经常强调的，教材的编写也遵循先认数后学运算的顺序;四则运算的意义是指加、减、乘、除的意义;运算律是运算的基本规律;运算规则是由运算律延伸的运算法则。由此，小学数学教学中“数学运算”的培养需要注意以下几个问题：
（一）四则运算意义的渗透
无论从哪个途径入手，从本质上来说，我们都是通过四则运算的意义去分析混合运算的运算顺序的。因此，相较于让学生明白为什么先乘、除后加、减，也许整体性地理解加、减、乘、除的意义更为重要。
加法，即统计相同性质的事物集合的总数时所用的计数方法。加法所指向的事物必须是相同性质的。比如，我们不可以用中国象棋的单价与它的个数相加，这是不符合现实意义的。
减法，即当一个已知群体，需要把单个个体或部分个体集合移除初始群体，再计数初始群体所剩个体数量时的运算行为。显然，减法是加法的逆运算，因此与加法拥有同样的现实意义。
乘法，即具有相同性质和数量的若干个集合相加，计算变化后集合的个体数量的运算行为。所以，乘法的本质还是加法。乘法的现实意义主要对应三种不同的类型：形如数量乘单价得到总价的类型，形如米乘米得到平方米的类型，形如数量乘倍数得到数量的类型。从这一程度上看，乘法的意义远比加法丰富。
除法，即求已知初始集合包含已知相同性质个体集合的个数的运算行为。显然，除法是乘法的逆运算，因此与乘法拥有同样的现实意义。
以上较为抽象的意义不能直接“给”学生，而要让他们在对混合运算的探究过程中自我内化，通过对一个个具体实例的分析，不断地渗透意义的理解。
（二）分类思维与有序思维的渗透
要处理计算顺序的问题，首先要处理能不能计算的问题。跳过后者直接对前者进行探讨是一种本末倒置的做法，因为这两个问题的背后是两种数学思维，即分类与有序。
分类在数学学习与生活中有着广泛的运用。它既是一种活动形式，如把男生、女生分为两类，把长方形与菱形归类在平行四边形中，等等;也是一种思维形式，一种抽象的数学思维形式，即将原有的事物按照一定的标准分门别类，从而反映其一些特征与属性。其中，标准是分类的关键。
例如，我们把加、减、乘、除四种运算进行分类，以它们不同的意义为标准，把加、减分为一类，称为一级运算;把乘、除分为一类，称为二级运算。这样，就能体现出两类运算的等级属性。因此，在混合运算问题中，能不能计算实际上指向一级运算的元素只能与一级运算的元素进行计算，二级运算的元素只能与二级运算的元素进行计算。如在25×18+35中，18与35就不能进行计算，因为35是一级运算的元素，而18是二级运算的元素，只能与另一个二级运算的元素25进行运算;而类似于25×15+35×20这样的式子，由于两个二级运算中间隔着一个一级运算，所以两个二级运算元素也不能直接进行运算。 可以看出，正是由于对加、减、乘、除进行了运算等级的分类，才能够讨论能不能运算的问题。其实，还可以思考：如果把加、乘分为一类，把减、除分为一类，就可以解决从左往右算这一算法问题。此外，分类应具有明确的目的性，而不应为了分类而分类，更不应刻意追求“与众不同”。
既然有了两类运算，自然就有了运算顺序的问题，这就涉及第二种思维——有序思维。
有序思维学生很早就体验过，数数就是一个典型的例子。无论以什么样的方式，数数都是按照顺序的——这其实就是数的双重意义中的序数意义（而用序数意义的最后一个数代表这些数的基数意义）。从数数活动发展出的有序思维十分广泛。而在这之前，会有一个有意或无意的分类过程，如一个一个数就是把单个东西作为一类，两个两个数就是把两个东西作为一类。
可以看出，有序思维是与分类思维密不可分的。两者从不同方面对事物进行了审视，但总体来说，都是通过思维的力量（这种思维的力量在混合运算中指向的就是对加、减、乘、除意义的理解）让我们对所审视的事物有更深的理解——这也可以被理解成是抽象的一种目的。在此，我们就可以明晰：先乘、除后加、减问题，实际上是一种在分类思维基础上的有序思维活动;想要探究顺序的问题，就必定要考虑分类的问题。
（三）整体思维的渗透
整体思维是贯穿整个数学学习过程的重要思维。分数学习中，一个苹果、一些苹果、半个苹果都能看作一个整體;代数学习中，a和a+b都能看作一个整体;到了更高层次的学习中，甚至可以把任何事物看作一个整体，如高中数学中的“设而不求”思想实际上也是一种整体思想。由此可见，学生对什么可以作为整体的思维实际上是一个不断扩充的过程——从一个物体到一些物体再到半个物体，是一种扩充，从a和a+b再到复杂的代数式，也是一种扩充。
在混合运算中，分步算式与综合算式的区别与联系就充分体现了整体思维。对于同一个问题，我们可以通过分步算式与综合算式两种形式进行计算。比如，对问题“马路左边有150棵果树;右边有120棵树，有6行，其中5行是果树。问：两边一共有多少果树？”分步列式，即用120÷6=20、20×5=100、100+150=250三个算式得到答案;综合列式，即用150+120÷6×5或120÷6×5+150一个算式得到答案。从意义上考察，能够把形如120÷6与120÷6×5这样的式子看成一个整体，是理解综合算式的关键所在。分步列式是把每一个意义都算出结果来，再进行意义关系的联结;而综合列式是列出每一个意义之间的关系，再进行计算。后者需要学生能够把一个式子也看成一个意义，知道它是一个意义主体。这实际上就体现了整体思维。
（四）具体思维与抽象思维的渗透
另一个值得研究的矛盾关系是具体与抽象。小学数学学习中，虽然需要具体的直观体验，但仍然少不了抽象——如上述所说的分类思维与有序思维即是一种抽象。
混合运算的意义探讨中，有教师运用数珠子的具体情境作为学习的载体，先数珠子，再将具体的珠子转化为圆片去数。这里的转化即是一种抽象，去除了原来具体的珠子的很多质的属性，使其量的特征更为明显。这实际上就是数学抽象的一个最为重要的目的——排除原有事物其他属性的干扰，以突出其量的特征。在此基础上，再通过圆片思考算式，从而使得算式从原来珠子的意义，转化为现在圆片的意义，得到更抽象、更广泛的意义。这也就指出了事物的抽象既在不断缩小其内涵，同时也在不断扩大其外延：原来的珠子抽象成了圆片，此时就可以把圆片当作其他具有相同数量关系的事物来看待，从而去研究更广泛的现实情境。这种从珠子到圆片再到算式的过程，就是一种不断抽象的过程，也是学生可以接受的、能够内化的过程。而且，这并不是终点。得到了抽象的算式，得到了最为广泛的意义后，学生应该在理解算式意义的基础上，去尝试赋予其具体意义，也就是编故事、创设情境，从而形成“具体—抽象—具体”的螺旋上升过程。此时的具体相比于之前珠子的具体已经是更高层次的了，它指向学生实际生活的方方面面：只要是拥有这种数量关系的情境，都是我们的“故事”。这实际上是一种自我意义的建构过程。由此，学生就从一个珠子的“故事”学习到了无数个“故事”。
*本文系江苏省社会科学基金项目“互联网时代下基础教育教师教学观念的转变与实践研究”（编号：18JYC001）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 郑毓信.数学思维与小学数学[M].南京：江苏教育出版社，2008.
[2] 彭亮，徐文彬.小学数学教学中“逻辑推理”的培养——从《长方形和正方形的面积公式推导》一课教学说起[J].教育研究与评论（小学教育教学），2019（8）.