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数学是一门非常迷人的学科,久远的历史、勃勃的生机使它发展成为一棵枝繁叶茂的参天大树。人们不禁要问:这棵大树到底扎根于何处?为了回答这个问题,数学家们提出了集合论。可以认为,数学的所有内容都是建立在集合的基础之上的。
在中学阶段,由于众多的数学内容可以用集合思想来描述,因而不仅为理解与分析数学问题开辟了新的途径,而且使许多表面上孤立、零乱的数学知识在本质上得到了统一,这对于掌握数学的真谛无疑大有裨益。人教B版实验教材在处理概率内容时,其指导思想就是建立集合与概率的联系,使用集合语言和集合运算较精确地叙述概率的有关概念。下面谈一下我对集合思想在概率中应用的看法。
1 用集合语言和运算来表述概率事件和公式
1.1 基本事件空间。在一次试验中,所有基本事件构成的集合称为基本事件空间,常用大写希腊字母Ω表示。这里的基本事件空间类似于集合中的全集,每一个基本事件都是基本事件空间的元素,随机事件是基本事件空间的子集。这样就可以用维恩图的方法来表示随机事件之间的关系。
1.2 两个事件的并与交。
1.2.1 两个事件的并。由事件A和B至少有一个发生(即A发生,或B发生,或A、B都发生)所构成的事件C,称为事件A与B的并(或和),记作C=A∪B,事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件组成的集合。因此有:A?哿A∪B,B?哿A∪B,且P(A)≤P(A∪B),P(B)≤P(A∪B),P(A∪B)≤P(A)+P(B)
1.2.2 两个事件的交。由事件A和B同时发生所构成的事件D,称为事件A与B的交(或积),记作D=A∩B(或D=AB),事件A∩B是由事件A和B所共同含有的基本事件组成的集合。因此有:A?勐A∩B,B?勐A∩B,且P(A)≥P(A∩B),P(B)≥P(A∩B),P(A∩B)≤P(A)+P(B),当A,B是相互独立事件时,有P(A∩B)=P(A)×P(B)
1.2.3 与集合类比。两个事件的并与交其实质就是两事件对应集合的并集与交集,所以无论从定义、表示、性质上都与两集合的并集与交集类似。这样就可以借助于集合的运算来表示和理解两事件的并与交。
1.2.4 概率的一般加法公式。P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),从集合的观点来看,概率的一般加法公式对应关于集合元素个数的容斥定理:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),它们的形式完全一致,可对比记忆和理解。
1.3 互斥事件。
1.3.1 互斥事件。不可能同时发生的两个事件叫互斥事件(或称互不相容事件)。若A、B是互斥事件,从集合的角度看,是指由各个事件所含的结果组成的集合互不相交,即有A∩B=Φ,从而得互斥事件的概率加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B),而对于两个有限集合A,B来说,若A∩B=Φ,有card(A∪B)=card(A)+card(B)
1.3.2 对立事件。不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件。事件A的对立事件记作A,从集合的角度看,由事件A所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集。因此有A∪A=Ω,A∩A=Φ且P(A∪A)=P(A)+P(A)=P(Ω)=1,从而得到P(A)=1-P(A)。这个公式为求P(A)提供了另外一种方法,当我们直接求P(A)有困难时,可转化为求P(A)。这实际是集合中补集思想的应用。
1.3.3 古典概型。对于古典概型,如果试验有n个两两互斥的基本事件,而随机事件A包含的基本事件数为m。设此试验的基本事件空间为Ω,则A?哿Ω,card(Ω)=n,card(A)=m, 所以P(A)=■=■,即事件A的概率是子集A的元素个数与全集Ω的元素个数的比值。
1.3.4 条件概率。对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫条件概率,用符号P(B/A)来表示。P(B/A)=■,P(A)>0。若此试验为古典概型,基本事件空间为Ω,则A?哿Ω,B?哿Ω,P(A)=■,P(A∩B)=■,从而有P(B/A)=■=■即此时事件B发生的条件概率就是A∩B的元素个数与A的元素个数之比。
1.3.5 几何概型。几何概型中事件A理解为区域Ω的某一子区域A,实际上就是A?哿Ω。
2 借助集合思想来处理概率问题
通过以上的叙述和对比,我们发现概率与集合有着千丝万缕的联系,可以借助于集合知识来理解概率内容,也可运用集合思想来解决概率问题。
例1:掷一颗骰子,观察掷出的点数。①写出这个试验的基本事件空间。②写出“掷出偶数点”这一随机事件对应的集合A。③求掷得奇数点的概率。
略解:①Ω={1,2,3,4,5,6};②A={2,4,6};③事件B=“擲得奇数点”={1,3,5},所以P(B)=■=■=■
例2,在一段线路中并联着三个独立自动控制的单开开关,只要其中有一个开关闭合,线路就正常工作。假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率。
分析:根据题意,这段时间内线路正常工作,就是指三个开关中至少有一个闭合,这可以包括恰有其中某一个开关闭合,恰有其中某两个开关闭合,恰好三个开关都闭合共七种互斥的情况,逐一求其概率较为麻烦,为此,我们转而先求三个开关都不能闭合的概率,从而求得其对立事件——三个开关中至少有一个能够闭合的概率。由于这段时间内三个开关是否能够闭合相互之间没有影响,可根据相互独立事件的概率乘法公式来求解。这里也可体会到用补集的思想处理问题,可使问题的解答变得简便。
解:分别记这段时间内三个开关能够闭合为事件A,B,C。根据题意,A,B,C相互独立,所以这段时间内至少有一个开关能够闭合,从而使线路能正常工作的概率是P(A∪B∪C)=1-(A∩B∩C)=1-P(A)P(B)P(C)=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1-(1-0.7)3=1-0.33=0.973
例3,设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,现有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁的概率是多少?
解:设A=“能活到20岁”,B=“能活到25岁”,则P(A)=0.8,P(B)=0.4,而所求概率为P(B/A),由于B?哿A,故A∩B=B,于是P(B/A)=■=■=■=0.5,所以这个动物能活到25岁的概率是0.5。
说明:以上题目的解决中,借助了集合的思想及表示,使问题的解决更简单、明了。特别是例3中求P(A∩B),题目中未明确给出,是通过分析集合A,B之间的包含关系,利用交集的性质得出的。
使用集合语言,能简洁、准确地表达数学内容,发展学生运用数学语言进行交流的能力。所以在概率的教学中,我们应努力贯彻本章的指导思想,通过数形结合变抽象为具体,多用集合语言和集合运算来表述概率事件,多从集合的角度来考虑概率问题。相信通过师生共同努力,能让学生明确集合与概率的联系,借助于集合的知识来更深刻地理解概率。
在中学阶段,由于众多的数学内容可以用集合思想来描述,因而不仅为理解与分析数学问题开辟了新的途径,而且使许多表面上孤立、零乱的数学知识在本质上得到了统一,这对于掌握数学的真谛无疑大有裨益。人教B版实验教材在处理概率内容时,其指导思想就是建立集合与概率的联系,使用集合语言和集合运算较精确地叙述概率的有关概念。下面谈一下我对集合思想在概率中应用的看法。
1 用集合语言和运算来表述概率事件和公式
1.1 基本事件空间。在一次试验中,所有基本事件构成的集合称为基本事件空间,常用大写希腊字母Ω表示。这里的基本事件空间类似于集合中的全集,每一个基本事件都是基本事件空间的元素,随机事件是基本事件空间的子集。这样就可以用维恩图的方法来表示随机事件之间的关系。
1.2 两个事件的并与交。
1.2.1 两个事件的并。由事件A和B至少有一个发生(即A发生,或B发生,或A、B都发生)所构成的事件C,称为事件A与B的并(或和),记作C=A∪B,事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件组成的集合。因此有:A?哿A∪B,B?哿A∪B,且P(A)≤P(A∪B),P(B)≤P(A∪B),P(A∪B)≤P(A)+P(B)
1.2.2 两个事件的交。由事件A和B同时发生所构成的事件D,称为事件A与B的交(或积),记作D=A∩B(或D=AB),事件A∩B是由事件A和B所共同含有的基本事件组成的集合。因此有:A?勐A∩B,B?勐A∩B,且P(A)≥P(A∩B),P(B)≥P(A∩B),P(A∩B)≤P(A)+P(B),当A,B是相互独立事件时,有P(A∩B)=P(A)×P(B)
1.2.3 与集合类比。两个事件的并与交其实质就是两事件对应集合的并集与交集,所以无论从定义、表示、性质上都与两集合的并集与交集类似。这样就可以借助于集合的运算来表示和理解两事件的并与交。
1.2.4 概率的一般加法公式。P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),从集合的观点来看,概率的一般加法公式对应关于集合元素个数的容斥定理:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),它们的形式完全一致,可对比记忆和理解。
1.3 互斥事件。
1.3.1 互斥事件。不可能同时发生的两个事件叫互斥事件(或称互不相容事件)。若A、B是互斥事件,从集合的角度看,是指由各个事件所含的结果组成的集合互不相交,即有A∩B=Φ,从而得互斥事件的概率加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B),而对于两个有限集合A,B来说,若A∩B=Φ,有card(A∪B)=card(A)+card(B)
1.3.2 对立事件。不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件。事件A的对立事件记作A,从集合的角度看,由事件A所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集。因此有A∪A=Ω,A∩A=Φ且P(A∪A)=P(A)+P(A)=P(Ω)=1,从而得到P(A)=1-P(A)。这个公式为求P(A)提供了另外一种方法,当我们直接求P(A)有困难时,可转化为求P(A)。这实际是集合中补集思想的应用。
1.3.3 古典概型。对于古典概型,如果试验有n个两两互斥的基本事件,而随机事件A包含的基本事件数为m。设此试验的基本事件空间为Ω,则A?哿Ω,card(Ω)=n,card(A)=m, 所以P(A)=■=■,即事件A的概率是子集A的元素个数与全集Ω的元素个数的比值。
1.3.4 条件概率。对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫条件概率,用符号P(B/A)来表示。P(B/A)=■,P(A)>0。若此试验为古典概型,基本事件空间为Ω,则A?哿Ω,B?哿Ω,P(A)=■,P(A∩B)=■,从而有P(B/A)=■=■即此时事件B发生的条件概率就是A∩B的元素个数与A的元素个数之比。
1.3.5 几何概型。几何概型中事件A理解为区域Ω的某一子区域A,实际上就是A?哿Ω。
2 借助集合思想来处理概率问题
通过以上的叙述和对比,我们发现概率与集合有着千丝万缕的联系,可以借助于集合知识来理解概率内容,也可运用集合思想来解决概率问题。
例1:掷一颗骰子,观察掷出的点数。①写出这个试验的基本事件空间。②写出“掷出偶数点”这一随机事件对应的集合A。③求掷得奇数点的概率。
略解:①Ω={1,2,3,4,5,6};②A={2,4,6};③事件B=“擲得奇数点”={1,3,5},所以P(B)=■=■=■
例2,在一段线路中并联着三个独立自动控制的单开开关,只要其中有一个开关闭合,线路就正常工作。假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率。
分析:根据题意,这段时间内线路正常工作,就是指三个开关中至少有一个闭合,这可以包括恰有其中某一个开关闭合,恰有其中某两个开关闭合,恰好三个开关都闭合共七种互斥的情况,逐一求其概率较为麻烦,为此,我们转而先求三个开关都不能闭合的概率,从而求得其对立事件——三个开关中至少有一个能够闭合的概率。由于这段时间内三个开关是否能够闭合相互之间没有影响,可根据相互独立事件的概率乘法公式来求解。这里也可体会到用补集的思想处理问题,可使问题的解答变得简便。
解:分别记这段时间内三个开关能够闭合为事件A,B,C。根据题意,A,B,C相互独立,所以这段时间内至少有一个开关能够闭合,从而使线路能正常工作的概率是P(A∪B∪C)=1-(A∩B∩C)=1-P(A)P(B)P(C)=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1-(1-0.7)3=1-0.33=0.973
例3,设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,现有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁的概率是多少?
解:设A=“能活到20岁”,B=“能活到25岁”,则P(A)=0.8,P(B)=0.4,而所求概率为P(B/A),由于B?哿A,故A∩B=B,于是P(B/A)=■=■=■=0.5,所以这个动物能活到25岁的概率是0.5。
说明:以上题目的解决中,借助了集合的思想及表示,使问题的解决更简单、明了。特别是例3中求P(A∩B),题目中未明确给出,是通过分析集合A,B之间的包含关系,利用交集的性质得出的。
使用集合语言,能简洁、准确地表达数学内容,发展学生运用数学语言进行交流的能力。所以在概率的教学中,我们应努力贯彻本章的指导思想,通过数形结合变抽象为具体,多用集合语言和集合运算来表述概率事件,多从集合的角度来考虑概率问题。相信通过师生共同努力,能让学生明确集合与概率的联系,借助于集合的知识来更深刻地理解概率。