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数学是一门运用思维的学科，其知识本身的重要性毋庸置疑，但它并不是唯一的决定因素，真正对学生以后学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的其实是数学的思想方法.课程标准在教材编写建议上，要求根据学生已有经验、心理发展规律以及所学内容的特点，一些重要的数学概念与数学思想方法应采用逐步渗透、深化、螺旋上升的方式编排，以便逐步实现本学段的学习目标．所以在日常教学中，我们要善于充分挖掘教材中所蕴含的思想方法，在课堂上与教学内容有机渗透、自然渗透，有意识启发学生领悟蕴含于数学知识之中的种种思想方法，并引导学生经历由感性到理性、抽象到具体、特殊到一般的过程，再经过反复训练和体验，逐步内化和运用，才能让学生真正领会，学有所得，获益终生．下面我以人教版《义务教育课程标准实验教科书•数学》六年级上册“圆的面积”为例探讨怎样挖掘并渗透数学思想．
该课时是学生学习求曲线图形的第一课，也是求平面图形面积的一次重要转折，教材安排是把它转化成一个近似的长方形，从而推导出面积计算公式的．学习过程中向学生渗透了“转化”这一数学思想方法，其精妙之处在于把本来不容易解决的问题，通过转化变成容易解决的问题，特别适合小学生掌握知识的年龄特点，因此在整个小学阶段的数学学习中经常会用到这种思想方法．这样的教学安排增强了学生自觉应用数学思想方法解决问题的意识，也让学生体验到数学思想方法的重要性．随后教材还在其配套习题中提供了这样一个知识点：在每个正方形中分别作一个最大的圆，并完成下表（第72页第9题）.
通过计算验证学生掌握了：只要是在一个正方形里画一个最大的圆，这个圆的面积就一定是这个正方形面积的，即在一个正方形里画一个最大的圆其利用率为78.5%！随后我又把表格设计成计算两者的周长之比，并总结出这样的结论：正方形内最大的圆周长与面积和正方形的周长与面积均成正比例关系，而且根据两者的关系，我们还可以很容易求出其中某个图形的周长或面积．
这个知识点在学生学习掌握了圆柱、圆锥和比例等小学数学重要知识后，如能正确运用“转化”这一数学思想方法，更能显示出其在解决实际问题时的优越性，既可以为学生以后学习其他形体的面积和体积打好基础，进一步发展空间观念，还可以增强学生解决问题的策略和方法，逐步增强他们收集、处理信息的意识和能力，提高学生用数学方法处理数学问题的能力，获得初步的函数观念，为初中课程的相关知识学习做好铺垫．下面我选用几个例子来说明如何通过“转化”，巧用利用率来解决实际问题，权当抛砖引玉与同行切磋．
例1：①已知一个正方形的面积是676平方米，在它里面画一个最大的圆，这个圆的面积是多少？②已知一个正方形的周长是104米，在它里面画一个最大的圆，这个圆的周长是多少？
解：①676×78.5%=530.66（平方米）；②104×78.5%=81.64（米）.
例2：①已知一个圆的面积是530.66平方米，它是一个正方形里面的最大圆，这个正方形的面积是多少？②已知一个圆的周长是81.64米，它是一个正方形里面的最大圆，这个正方形的周长是多少？
解：① 530.66÷78.5%=676（平方米）；② 81.64÷78.5%=104（米）.
往年像这样的题目，大多数学生虽然已经熟记了圆和正方形面积、周长的计算公式，但在遇到这些相关的实际问题时，许多学生还是感到解答困难，无从下笔．今年由于前面已经有利用率78.5%这个知识点为“桥梁”，解答时绝大多数学生能将例1的两个问题分别转化成“求676（或104）的78.5%的是多少？”把例2转化成“已知一个数的78.5%是530.66（或81.64），这个数是多少？”并正确解答出来．实践证明，教学中经常进行多向思维的训练，可以让学生广开思路，萌发思维的创造性，培养学生思维的广阔性、灵活性和创造性．
例3：把一个正方体削成一个最大的圆柱体，如果圆柱体的侧面积是314平方厘米，那么正方体的表面积是多少？
解法1：设圆柱的底面直径为d厘米，根据题意，得π d×d=314，解得d2=100（平方厘米），100×6=600（平方厘米）.
解法2：设正方体的侧面积为x平方厘米，得==，解得x=400，400÷4×6=600（平方厘米）．
例4：把一个横截面是正方形的长方体木料切削成一个最大的圆柱体，已知圆柱体的表面积是32.97平方厘米，底面直径与高的比是1:3，请问原长方体的表面积是多少？
解法1：设圆柱的底面直径为d厘米，根据题意，得πd×3d＋（）2×π×2=32.97，解得d2=3（平方厘米），3×3×4＋3×2=42（平方厘米）.
解法2：设原长方体的表面积是x平方厘米，得==，解得x=42．
例5：把一个体积为24立方厘米的正方体加工成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是多少？
解法1：设正方体边长为a厘米，根据题意，得×π×（）2×a=×3.14×=6.28（立方厘米）.
解法2：24×78.5%×=6.28（立方厘米）.
从平面图形面积计算到立体图形体积计算，这对绝大多数学生来说难度增加了很多，体积计算要求学生具备更强的空间想象能力、观察能力和思维能力．尤其像上面举出的这些例子，在教师没有做任何提示的情况下，学生解题的正确率是很低的．这时候我抓住机会向学生指出：无论是平面图形还是立体图形，只要是有“在一个正方形里画一个最大的圆”这个特定条件，我们都可以运用利用率把复杂的问题巧妙转化，再通过比例知识把各个数量关系正确对应达到快速解决难题的目的．对于有些题目即便不能一步到位，但也仍然可以起到“桥梁”的搭建作用，就像例3；对于例4，从解法1（一般解法）和解法2（巧用利用率的解法）的对比中，我们更是显而易见发现巧用利用率这种解法的直观性和简便性；例5则是证明了这种解法在体积计算中同样适用，而且把这种解法的优越性表露无遗！经过我的细致讲解，学生多数能梳理好新旧知识的结构，认识面与体之间的联系和区别，摆脱如要求正方体的表面积就一定要先算出其棱长、求圆面积就一定要先算出半径等“机械式”的解题思路，并利用知识迁移顺利解题，再通过讨论交流后，90%以上的学生茅塞顿开，豁然开朗．
在长期的教学学习实践中，我们认识到：观察是思维的触角，是学生认识事物的基础，一切发明创造都离不开科学的观察．解决问题时引导学生从不同角度出发观察和思考问题，有利于培养学生灵活处理数学问题的能力．通过多角度思考，获得多种解题途径，也能拓宽学生的思路，使学生感受到数学的奥秘和情趣，进一步培养了学生的创新意识．
授人以鱼，不如授人以渔．在小学数学学习实践中，教师不仅要让学生多掌握解题方法，更重要的是要注重教给学生学习的方法，培养学生灵活多变的解题思维，培养学生思维能力和良好的思维品质，从而既提高学习质量，又达到培养能力、发展智力的目的．
责任编辑罗峰
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
该课时是学生学习求曲线图形的第一课，也是求平面图形面积的一次重要转折，教材安排是把它转化成一个近似的长方形，从而推导出面积计算公式的．学习过程中向学生渗透了“转化”这一数学思想方法，其精妙之处在于把本来不容易解决的问题，通过转化变成容易解决的问题，特别适合小学生掌握知识的年龄特点，因此在整个小学阶段的数学学习中经常会用到这种思想方法．这样的教学安排增强了学生自觉应用数学思想方法解决问题的意识，也让学生体验到数学思想方法的重要性．随后教材还在其配套习题中提供了这样一个知识点：在每个正方形中分别作一个最大的圆，并完成下表（第72页第9题）.
通过计算验证学生掌握了：只要是在一个正方形里画一个最大的圆，这个圆的面积就一定是这个正方形面积的，即在一个正方形里画一个最大的圆其利用率为78.5%！随后我又把表格设计成计算两者的周长之比，并总结出这样的结论：正方形内最大的圆周长与面积和正方形的周长与面积均成正比例关系，而且根据两者的关系，我们还可以很容易求出其中某个图形的周长或面积．
这个知识点在学生学习掌握了圆柱、圆锥和比例等小学数学重要知识后，如能正确运用“转化”这一数学思想方法，更能显示出其在解决实际问题时的优越性，既可以为学生以后学习其他形体的面积和体积打好基础，进一步发展空间观念，还可以增强学生解决问题的策略和方法，逐步增强他们收集、处理信息的意识和能力，提高学生用数学方法处理数学问题的能力，获得初步的函数观念，为初中课程的相关知识学习做好铺垫．下面我选用几个例子来说明如何通过“转化”，巧用利用率来解决实际问题，权当抛砖引玉与同行切磋．
例1：①已知一个正方形的面积是676平方米，在它里面画一个最大的圆，这个圆的面积是多少？②已知一个正方形的周长是104米，在它里面画一个最大的圆，这个圆的周长是多少？
解：①676×78.5%=530.66（平方米）；②104×78.5%=81.64（米）.
例2：①已知一个圆的面积是530.66平方米，它是一个正方形里面的最大圆，这个正方形的面积是多少？②已知一个圆的周长是81.64米，它是一个正方形里面的最大圆，这个正方形的周长是多少？
解：① 530.66÷78.5%=676（平方米）；② 81.64÷78.5%=104（米）.
往年像这样的题目，大多数学生虽然已经熟记了圆和正方形面积、周长的计算公式，但在遇到这些相关的实际问题时，许多学生还是感到解答困难，无从下笔．今年由于前面已经有利用率78.5%这个知识点为“桥梁”，解答时绝大多数学生能将例1的两个问题分别转化成“求676（或104）的78.5%的是多少？”把例2转化成“已知一个数的78.5%是530.66（或81.64），这个数是多少？”并正确解答出来．实践证明，教学中经常进行多向思维的训练，可以让学生广开思路，萌发思维的创造性，培养学生思维的广阔性、灵活性和创造性．
例3：把一个正方体削成一个最大的圆柱体，如果圆柱体的侧面积是314平方厘米，那么正方体的表面积是多少？
解法1：设圆柱的底面直径为d厘米，根据题意，得π d×d=314，解得d2=100（平方厘米），100×6=600（平方厘米）.
解法2：设正方体的侧面积为x平方厘米，得==，解得x=400，400÷4×6=600（平方厘米）．
例4：把一个横截面是正方形的长方体木料切削成一个最大的圆柱体，已知圆柱体的表面积是32.97平方厘米，底面直径与高的比是1:3，请问原长方体的表面积是多少？
解法1：设圆柱的底面直径为d厘米，根据题意，得πd×3d＋（）2×π×2=32.97，解得d2=3（平方厘米），3×3×4＋3×2=42（平方厘米）.
解法2：设原长方体的表面积是x平方厘米，得==，解得x=42．
例5：把一个体积为24立方厘米的正方体加工成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是多少？
解法1：设正方体边长为a厘米，根据题意，得×π×（）2×a=×3.14×=6.28（立方厘米）.
解法2：24×78.5%×=6.28（立方厘米）.
从平面图形面积计算到立体图形体积计算，这对绝大多数学生来说难度增加了很多，体积计算要求学生具备更强的空间想象能力、观察能力和思维能力．尤其像上面举出的这些例子，在教师没有做任何提示的情况下，学生解题的正确率是很低的．这时候我抓住机会向学生指出：无论是平面图形还是立体图形，只要是有“在一个正方形里画一个最大的圆”这个特定条件，我们都可以运用利用率把复杂的问题巧妙转化，再通过比例知识把各个数量关系正确对应达到快速解决难题的目的．对于有些题目即便不能一步到位，但也仍然可以起到“桥梁”的搭建作用，就像例3；对于例4，从解法1（一般解法）和解法2（巧用利用率的解法）的对比中，我们更是显而易见发现巧用利用率这种解法的直观性和简便性；例5则是证明了这种解法在体积计算中同样适用，而且把这种解法的优越性表露无遗！经过我的细致讲解，学生多数能梳理好新旧知识的结构，认识面与体之间的联系和区别，摆脱如要求正方体的表面积就一定要先算出其棱长、求圆面积就一定要先算出半径等“机械式”的解题思路，并利用知识迁移顺利解题，再通过讨论交流后，90%以上的学生茅塞顿开，豁然开朗．
在长期的教学学习实践中，我们认识到：观察是思维的触角，是学生认识事物的基础，一切发明创造都离不开科学的观察．解决问题时引导学生从不同角度出发观察和思考问题，有利于培养学生灵活处理数学问题的能力．通过多角度思考，获得多种解题途径，也能拓宽学生的思路，使学生感受到数学的奥秘和情趣，进一步培养了学生的创新意识．
授人以鱼，不如授人以渔．在小学数学学习实践中，教师不仅要让学生多掌握解题方法，更重要的是要注重教给学生学习的方法，培养学生灵活多变的解题思维，培养学生思维能力和良好的思维品质，从而既提高学习质量，又达到培养能力、发展智力的目的．
责任编辑罗峰
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”