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【摘 要】重视概念和公式的生成过程，重视学生的元认知，注重学生思维能力的培养是数学概念课的首要任务。这就需要在教学过程中营造一种平等、自由的课堂教学氛围，让学生在课堂中自由发挥才能，使得师生在一种轻松、和谐的课堂氛围中自然成长。
【关键词】数学思维；课堂教学；高中数学
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）59-0028-03
【作者简介】1.田利剑，江苏省如皋市第一中学（江苏如皋，226500）教师，一级教师，南通市骨干教师；2.祝存建，江苏省如皋市第一中学（江苏如皋，226500）校长办公室主任，一级教师，南通市骨干教师。
现阶段很多教师在教学中讲究“套路”，对概念教学片面重视概念公式的应用、轻视概念和公式的生成过程，忽视学生的元认知，让学生将鲜活的数学知识变成一个又一个的“套路”储存在记忆之中，使得数学学习活动单纯地成了记忆活动，这是不可取的，需要加以改变。为此，笔者认为注重学生思维能力的培养是数学概念课的重要任务之一。
“基本不等式证明”一课的教学重点是在课堂中引导学生发现不等式，并对所得不等式给出证明和几何解释。在实际教学过程中筆者决定放弃预习案，将课堂教学分为五个阶段：第一个阶段的任务目标是引入基本不等式；第二个阶段的任务目标是证明基本不等式；第三个阶段的任务目标是探索基本不等式的几何解释，以此深化学生对不等式的理解；第四个阶段的任务目标是基本不等式的应用；第五个阶段是对整个课堂的回顾总结。在每一个活动中让学生在自然、开放的气氛中充分发挥自己的探究能力，提高思维水平，进而提升解决问题的能力。以下是笔者的教学设计。
1.创设问题情境。
有一个聪明的同学到某金店购买黄金，金店里只有一架制造不够精确的天平（只有臂长不等），店主分别把黄金放于左右两盘各称一次，分别称得黄金重量为a克和b克。店主笑着对同学说：黄金的重量是克。
问题1-1：你同意店主的做法吗？
问题1-2：如何找出实际重量？你能把这个问题转化成一个数学问题吗？
问题1-3：你能判断出与哪个更大吗？
【师生活动】学生小组讨论，分组发表观点。（可以借鉴指数函数的研究方法，培养学生特殊到一般的研究思想。）
问题1-4：我们通过列出几组数据的方式发现<都是成立的，这个是一定成立的吗？你能得到一个一般性结论吗？
（设计意图：从实际情境入手，激发学生的学习兴趣。通过学生自主探究与展示，教师引导学生将实际问题抽象为数学问题。在实际上课时，学生预习得比较充分，直接说出≤，教师则追问这两个量分别代表什么，再利用杠杆原理求出黄金的实际重量，舍弃了用赋值法比大小、猜大小的预设，直接给出一般性的猜想。）
2.发现新知。
问题2-1：如何证明我们的猜想，若a≥0，b≥0，则≤？请各位同学首先自己尝试去证明，然后小组讨论交流，看看有哪些想法。
【师生活动】注意引导学生借鉴函数单调性的证明方式，进行作差比较。学生动手实践，请学生代表展示证明过程，挖掘不等式中等号成立的条件。
（设计意图：通过具体问题，培养学生独立思考、动手实践以及团队协作的能力。通过小组讨论让学生的思维碰撞出火花，从而得到不等式的相应证明方法。）
问题2-2：还有没有其他的证明方法呢？
（设计意图：通过特值检验获得结论，并进行严格证明。通过小组活动的形式对基本不等式的证明方式进行探究，初步引导学生了解证明中的分析法、综合法。）
问题2-3：这架天平称出的黄金质量有没有可能正确呢？
（设计意图：回归问题情境，通过不等臂天平两次称量质量a、b不可能相等这一事实强化学生对不等式中等号成立条件的理解。实际教学中，学生可能会给出多种证明方法，教师要适当点评，让学生熟悉基本不等式，并注意到基本不等式等号成立的条件和掌握不等式的常用证明方法。）
3.深化对新知的理解。
问题3-1：两个正数a，b的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？它们可能相等吗？
问题3-2：如果a，b不全为正数，不等式还成立吗？
问题3-3：我们从数的角度研究了基本不等式，通过图1你能给出基本不等式≤的几何解释吗？
（设计意图：通过找出图中长度分别为和的两条线段直观感知和的大小关系，加深对基本不等式的理解，体现数形结合的思想，同时为接下来的问题提供铺垫。）
问题3-4：你能用两个等腰直角三角形拼成一个图形给出基本不等式的几何解释吗？（腰长分别为，）
问题3-5：如果上述两个等腰直角三角形的腰长分别为a、b，你能得到什么结论呢？类似的你能得到其他不等关系吗？
（设计意图：以形辅数，在图形中直观地观察出基本不等式相关量之间的关系，关键是构造出代表和的量，找到和在图形中的几何意义。在教学过程中笔者采用了问题3-3和3-4的两种方法，原因在于第一种方法通俗易懂，第二种方法可以揭示基本不等式的本质，有利于基本不等式的应用。问题3-5则是让学生学会举一反三，教师可在教学中依据学生的回答总结出：基本不等式可总结为≤，其中Δ，□可为具体数字或代数式，只要满足条件Δ，□均非负即可。）
4.数学应用。
例题：设a，b是正数，证明下列不等式成立（1）≥2；（2）a ≥2。
（设计意图：通过例题对基本不等式进行应用，强调基本不等式使用时应满足“正”，“等”的条件。）
5.回顾总结。
（1）知识结构图。
①“形”→
②“数”→ → → （2）思想方法：数形结合的思想以及化归的思想方法。
美国心理学家罗杰斯说过：“创造活动的一般条件是心理安全和心理自由，只有心理安全才能导致心理自由，也才能导致学习的创造性。”要让学生在课堂教学中充分地暴露自己的思维就要让学生敢想、敢说，这需要我们在教学过程中营造一种平等、自由的课堂教学氛围，让学生在课堂中自由发挥才能进行创新创造。在教学中将师生的思维如视频图像一般呈现出来，使得师生在一种轻松、和谐课堂氛围中自然成长。
【参考文献】
[1]石志群.对数学核心素养的几个问题的思辨[J].教学研究与评论，2016（11）.
[2]肖凌赣.基本不等式的教学导入研究[J].中国数学教育，2015（04）.
[3]袁泉润.“重要”不等式為何改为“基本”不等式[J].数学通讯，2014（09）.
[4]郑毓信.新数学教育哲学[M].上海：华东师范大学出版社，2015.
【团队推荐】
本课教学依据学生、教材实际，遵循教学设计问题化，教学过程活动化。在充分考虑学科知识的科学性、系统性的前提下，对教材进行适当调整重组，以五个环节展示教学流程，以学生学习活动为中心，不断进行尝试与探究。变式练习由易到难，循序渐进，让思维在问题解决中得到发展，使学生在探索问题的过程中，亲历数学对象的发展过程，感受数学求真求美的思维特质。笔者总结这节课有以下几个亮点：
1.教学线索清晰，定位准确。
教学中以基本不等式的获得和应用为明线，以数学思想方法的渗透和体会为暗线。在本节课的学习和教学中，明暗线索交相呼应，学生不断地在学习知识的过程中体会数学思想方法的作用，甚至能在例题教学中尝试让学生运用数学思想方法策略性地思考和学习，学生在知识学习的同时更对数学有认识上的提升，这就使得学生的学习过程自然流畅。
2.以动促思，将所研究的内容“可视化”。
数学高度的抽象性和形式化特征，使其极易脱离现实生活。作为教育的数学应该将数学教学当作活动来对待，让学生通过操作“实验”，以动促思，将所研究的内容“可视化”，调动多种感官参与学习，进而对其适度抽象，获得数与形的观念，创造性地“再发现”知识，体会数学知识的形成和发展的过程。《普通高中数学课程标准（实验）》指出“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，因此，教师从基本不等式的几何背景入手，让学生进行拼图实验，创设一个与理性学习内容密切联系的学习情境，一个现实的数学化过程，让学生直观地感受基本不等式的形式，增强学生学习的内驱力，激发他们去“再创造”数学知识，营造了一个和谐生态的课堂。
3.由形到数，活化学生思维。
数学教学是数学活动的教学，数学课堂教学必须重视数学活动，既要注重学生通过操作活动，获得直观经验与感性认识，又要注重问题的数学化，使学生从形式中获得重要的数学信息，对已有经验抽象概括并适度形式化，最终达到对数学定理的意义建构。
在田老师的教学中，诸如“今天所学的不等式可以看成当a≥0，b≥0时，在不等式≥ab中，以分别代替a，b得到的。到此为止，可以得出‘基本不等式’的本质（逻辑起点）是实数平方的非负性。”“基本不等式的结构形式为≥，另一不等式的结构形式为≥Δ·□，Δ，□可以填数或式。请同学们自己来填替代Δ，□的数或式，可以得到什么？”等等的总结和引导性话语既加深了学生对基本不等式的本质特征的认识理解，又为不等式的应用奠定了基础，同时也培养了学生学会运用变化的观点看待事物的能力。
课堂教学是教师、学生、文本展开的心灵对话。因教师精心、有计划的预设而提升，因学生动态、不可重复、创新的生成而和谐、精彩！
（推荐人：祝存建）
【关键词】数学思维；课堂教学；高中数学
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）59-0028-03
【作者简介】1.田利剑，江苏省如皋市第一中学（江苏如皋，226500）教师，一级教师，南通市骨干教师；2.祝存建，江苏省如皋市第一中学（江苏如皋，226500）校长办公室主任，一级教师，南通市骨干教师。
现阶段很多教师在教学中讲究“套路”，对概念教学片面重视概念公式的应用、轻视概念和公式的生成过程，忽视学生的元认知，让学生将鲜活的数学知识变成一个又一个的“套路”储存在记忆之中，使得数学学习活动单纯地成了记忆活动，这是不可取的，需要加以改变。为此，笔者认为注重学生思维能力的培养是数学概念课的重要任务之一。
“基本不等式证明”一课的教学重点是在课堂中引导学生发现不等式，并对所得不等式给出证明和几何解释。在实际教学过程中筆者决定放弃预习案，将课堂教学分为五个阶段：第一个阶段的任务目标是引入基本不等式；第二个阶段的任务目标是证明基本不等式；第三个阶段的任务目标是探索基本不等式的几何解释，以此深化学生对不等式的理解；第四个阶段的任务目标是基本不等式的应用；第五个阶段是对整个课堂的回顾总结。在每一个活动中让学生在自然、开放的气氛中充分发挥自己的探究能力，提高思维水平，进而提升解决问题的能力。以下是笔者的教学设计。
1.创设问题情境。
有一个聪明的同学到某金店购买黄金，金店里只有一架制造不够精确的天平（只有臂长不等），店主分别把黄金放于左右两盘各称一次，分别称得黄金重量为a克和b克。店主笑着对同学说：黄金的重量是克。
问题1-1：你同意店主的做法吗？
问题1-2：如何找出实际重量？你能把这个问题转化成一个数学问题吗？
问题1-3：你能判断出与哪个更大吗？
【师生活动】学生小组讨论，分组发表观点。（可以借鉴指数函数的研究方法，培养学生特殊到一般的研究思想。）
问题1-4：我们通过列出几组数据的方式发现<都是成立的，这个是一定成立的吗？你能得到一个一般性结论吗？
（设计意图：从实际情境入手，激发学生的学习兴趣。通过学生自主探究与展示，教师引导学生将实际问题抽象为数学问题。在实际上课时，学生预习得比较充分，直接说出≤，教师则追问这两个量分别代表什么，再利用杠杆原理求出黄金的实际重量，舍弃了用赋值法比大小、猜大小的预设，直接给出一般性的猜想。）
2.发现新知。
问题2-1：如何证明我们的猜想，若a≥0，b≥0，则≤？请各位同学首先自己尝试去证明，然后小组讨论交流，看看有哪些想法。
【师生活动】注意引导学生借鉴函数单调性的证明方式，进行作差比较。学生动手实践，请学生代表展示证明过程，挖掘不等式中等号成立的条件。
（设计意图：通过具体问题，培养学生独立思考、动手实践以及团队协作的能力。通过小组讨论让学生的思维碰撞出火花，从而得到不等式的相应证明方法。）
问题2-2：还有没有其他的证明方法呢？
（设计意图：通过特值检验获得结论，并进行严格证明。通过小组活动的形式对基本不等式的证明方式进行探究，初步引导学生了解证明中的分析法、综合法。）
问题2-3：这架天平称出的黄金质量有没有可能正确呢？
（设计意图：回归问题情境，通过不等臂天平两次称量质量a、b不可能相等这一事实强化学生对不等式中等号成立条件的理解。实际教学中，学生可能会给出多种证明方法，教师要适当点评，让学生熟悉基本不等式，并注意到基本不等式等号成立的条件和掌握不等式的常用证明方法。）
3.深化对新知的理解。
问题3-1：两个正数a，b的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？它们可能相等吗？
问题3-2：如果a，b不全为正数，不等式还成立吗？
问题3-3：我们从数的角度研究了基本不等式，通过图1你能给出基本不等式≤的几何解释吗？
（设计意图：通过找出图中长度分别为和的两条线段直观感知和的大小关系，加深对基本不等式的理解，体现数形结合的思想，同时为接下来的问题提供铺垫。）
问题3-4：你能用两个等腰直角三角形拼成一个图形给出基本不等式的几何解释吗？（腰长分别为，）
问题3-5：如果上述两个等腰直角三角形的腰长分别为a、b，你能得到什么结论呢？类似的你能得到其他不等关系吗？
（设计意图：以形辅数，在图形中直观地观察出基本不等式相关量之间的关系，关键是构造出代表和的量，找到和在图形中的几何意义。在教学过程中笔者采用了问题3-3和3-4的两种方法，原因在于第一种方法通俗易懂，第二种方法可以揭示基本不等式的本质，有利于基本不等式的应用。问题3-5则是让学生学会举一反三，教师可在教学中依据学生的回答总结出：基本不等式可总结为≤，其中Δ，□可为具体数字或代数式，只要满足条件Δ，□均非负即可。）
4.数学应用。
例题：设a，b是正数，证明下列不等式成立（1）≥2；（2）a ≥2。
（设计意图：通过例题对基本不等式进行应用，强调基本不等式使用时应满足“正”，“等”的条件。）
5.回顾总结。
（1）知识结构图。
①“形”→
②“数”→ → → （2）思想方法：数形结合的思想以及化归的思想方法。
美国心理学家罗杰斯说过：“创造活动的一般条件是心理安全和心理自由，只有心理安全才能导致心理自由，也才能导致学习的创造性。”要让学生在课堂教学中充分地暴露自己的思维就要让学生敢想、敢说，这需要我们在教学过程中营造一种平等、自由的课堂教学氛围，让学生在课堂中自由发挥才能进行创新创造。在教学中将师生的思维如视频图像一般呈现出来，使得师生在一种轻松、和谐课堂氛围中自然成长。
【参考文献】
[1]石志群.对数学核心素养的几个问题的思辨[J].教学研究与评论，2016（11）.
[2]肖凌赣.基本不等式的教学导入研究[J].中国数学教育，2015（04）.
[3]袁泉润.“重要”不等式為何改为“基本”不等式[J].数学通讯，2014（09）.
[4]郑毓信.新数学教育哲学[M].上海：华东师范大学出版社，2015.
【团队推荐】
本课教学依据学生、教材实际，遵循教学设计问题化，教学过程活动化。在充分考虑学科知识的科学性、系统性的前提下，对教材进行适当调整重组，以五个环节展示教学流程，以学生学习活动为中心，不断进行尝试与探究。变式练习由易到难，循序渐进，让思维在问题解决中得到发展，使学生在探索问题的过程中，亲历数学对象的发展过程，感受数学求真求美的思维特质。笔者总结这节课有以下几个亮点：
1.教学线索清晰，定位准确。
教学中以基本不等式的获得和应用为明线，以数学思想方法的渗透和体会为暗线。在本节课的学习和教学中，明暗线索交相呼应，学生不断地在学习知识的过程中体会数学思想方法的作用，甚至能在例题教学中尝试让学生运用数学思想方法策略性地思考和学习，学生在知识学习的同时更对数学有认识上的提升，这就使得学生的学习过程自然流畅。
2.以动促思，将所研究的内容“可视化”。
数学高度的抽象性和形式化特征，使其极易脱离现实生活。作为教育的数学应该将数学教学当作活动来对待，让学生通过操作“实验”，以动促思，将所研究的内容“可视化”，调动多种感官参与学习，进而对其适度抽象，获得数与形的观念，创造性地“再发现”知识，体会数学知识的形成和发展的过程。《普通高中数学课程标准（实验）》指出“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，因此，教师从基本不等式的几何背景入手，让学生进行拼图实验，创设一个与理性学习内容密切联系的学习情境，一个现实的数学化过程，让学生直观地感受基本不等式的形式，增强学生学习的内驱力，激发他们去“再创造”数学知识，营造了一个和谐生态的课堂。
3.由形到数，活化学生思维。
数学教学是数学活动的教学，数学课堂教学必须重视数学活动，既要注重学生通过操作活动，获得直观经验与感性认识，又要注重问题的数学化，使学生从形式中获得重要的数学信息，对已有经验抽象概括并适度形式化，最终达到对数学定理的意义建构。
在田老师的教学中，诸如“今天所学的不等式可以看成当a≥0，b≥0时，在不等式≥ab中，以分别代替a，b得到的。到此为止，可以得出‘基本不等式’的本质（逻辑起点）是实数平方的非负性。”“基本不等式的结构形式为≥，另一不等式的结构形式为≥Δ·□，Δ，□可以填数或式。请同学们自己来填替代Δ，□的数或式，可以得到什么？”等等的总结和引导性话语既加深了学生对基本不等式的本质特征的认识理解，又为不等式的应用奠定了基础，同时也培养了学生学会运用变化的观点看待事物的能力。
课堂教学是教师、学生、文本展开的心灵对话。因教师精心、有计划的预设而提升，因学生动态、不可重复、创新的生成而和谐、精彩！
（推荐人：祝存建）