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摘要：解题后反思解题规律，有利于总结解题经验、积累解题方法，从而较快地摸索解题线索，提高解题能力. 本文结合一个教学案例，提出了解题后引导学生反思解题规律的五个教学步骤.
关键词：解题后反思；数学题型；解题规律；思维规律
著名数学家波利亚说过：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾与反思.” 可见波利亚非常重视解题后反思的过程. 数学解题后的反思包括反思错解及其原因、反思思维过程、反思解题规律、反思一题多解等等.本文就解题后反思解题规律这一方面进行研究.
许多数学题，具有相同的结构形式，它们的解答形式虽然不相同，但解题思路却有一定的规律. 所以解题后引导学生对题目进行归类，对这类题型的解题规律进行分析归纳，可使学生从题海中解脱出来，提高分析归纳解题规律的能力，也有利于总结解题经验、积累解题方法，从而较快地摸索解题的线索，提高解题能力. 那么解题后如何引导学生反思解题规律呢？可分为下面五个步骤进行.
引导学生反思题目涉及的主要知识点，总结题型
数学题型往往是和知识点联系在一起的，所以要总结题型，应先挖掘出题目所涉及的知识点. 一道题通常包含大量的信息，教师应引导学生去粗取精，理清题干，提炼出关键的解题信息（比如找出已知条件、主要数学概念、要求解的目标或求证的结论）. 这些信息经过整理，用数学语言描述出来后就是题目涉及的主要知识点.最后在这些知识点的基础上，结合题干和解题目标，就容易总结出该类题型.
例1如图1所示，在棱长为a正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，求AE，BF所成角的大小.
图1
解析连结C1E，C1A，因为E，F分别为BB1，CC1的中点，则有EC1∥BF，
所以∠AEC1是异面直线AE，BF所成的角.
因为AE=EC1=a，AC1=a，所以cos∠AEC1==1-=-，从而AE，BF所成的角为arccos.
分析解答完该题后，教师通過一系列的设问，引导学生一步步反思知识点和总结题型（下同）.
教师：解答完这道题，现在让我们来回顾一下本题主要涉及哪些数学概念？
学生：正方体，中点，两直线所成的角度.
教师：同学们回答得很全面，其中两直线是异面直线，因此异面直线所成的角是本题的核心概念.本题的已知条件是什么？解题目标是什么？
学生：已知条件包含正方体棱长，两个中点，AE，BF分别在两个面上；解题目标是求AE，BF所成的角.
教师：所以从已知条件和解题目标可以看出，本题涉及的主要知识点有正方体的性质、余弦定理、异面直线所成的角. 本题题型为求两条异面直线所成的角.
应用“文章”分段法，引导学生反思该题型的解题步骤
日常教学中可以发现，熟悉解题步骤的学生，答题的时候明显更加自信，而且解题所用时间较短，所以反思某个题型的具体解题步骤是有必要的. 总结题型后，教师应引导学生回顾一下解题过程，把它看成是一篇“文章”，然后对该“文章”划分段落. 用数学语言描述出各段落的大意，这就形成该题关键的几个解题步骤.结合例1，教师可以这样引导学生反思解题步骤.
教师：本“文章”可分为几段？各段分别是从哪里到哪里？
学生：分成三段，第一段从开头到“连结C1E，C1A”；第二段到“∠AEC1是异面直线AE，BF所成的角”； 第三段到结束.
教师：各段的段落大意如何？
学生：第一段说的是过一点作平行线，作出一个角；第二段说的是证明上面作出的角是所求异面直线所成的角；第三段说的是把角置于三角形中，通过已知条件和解三角形的知识求出角.
教师：很好，以上三段的段落大意就是本题型的三个解题步骤.
引导学生反思该题型的解题思维规律
解题思维规律是解题规律中最重要的组成部分，掌握了它就能迅速摸索到解题线索，从而拟定具体解题步骤. 我们可以把解题思维规律看成是一篇文章的中心思想，它是各段段落大意和写作意图的高度概括. 所以结合各解题步骤及其意图，经过概括、简化，就能形成解题思维规律. 结合例1，教师可以这样引导学生.
教师：我们知道本题分三个步骤，第一个步骤的意图是什么？
学生：选择恰当的点，通过平移直线后，将空间问题转化为平面问题.
教师：接下来的两个步骤的意图各是什么？
学生：第二个步骤意图是要确定所求的角；第三个步骤意图是在平面内，联系已知条件，算出答案.
教师：我们把这三个目的整理一下便可以得到如下解题规律：欲求两条异面直线所成的角，关键在于选择恰当的点，通过平移一条直线（或两条直线）后，转化为平面问题，最后在平面内把该角求出.
引导学生反思该题型中数学思想方法的应用
数学思想方法是关于怎样进行认知活动的知识，是数学解题规律在更高层次上的抽象和概括. 解题之后对涉及的数学思想方法及时提炼，可以构建学生的知识网络，深化学生的理性认识，提高学生的思维水平. 这个步骤一定要及时，要抓住最佳时机，一旦错过，教学效果会大打折扣. 在教学中，教师应先引导学生对该题型的思维规律进行深层次的概括和提炼，然后体会该数学思想方法在本题中的作用. 结合例1，教师可以这样引导.
教师：请回顾一下本题的思维规律，你认为最核心的是哪个词？
学生：平移.
教师：平移的目的是将三维空间中抽象的角转化为平面问题来解决. 所以最核心的词是哪个？
学生：转化.
教师：对了，就是转化法. 所谓转化法，就是通过把问题适当地变更，进行难易或繁简的转化，从而达到最终解决问题的目的，它是一种常用的好方法. 在本题中，它的作用如何体现呢？
学生：使得求角变得简单.
教师：分析得不够全面. 在三维空间中，要直接用公式计算两异面直线所成的角，以我们现在所学知识很难解决.在平面上，我们已经掌握了一些求角的经验，解决起来相对容易. 这样把空间问题转化为平面问题，使得本题由难变易.
引导学生反思题目的变式和拓展，以巩固对解题规律的掌握
变式和拓展就是针对题目的条件进行变换，或是对原题的所求内容进行拓宽与引申，设计出新题并进行求解. 这样有助于学生全面认识数学知识点的相互关联，能够让学生对数学解题规律的运用达到“学一知二、举一反三”的好效果. 结合例1，教师可以这样引导反思题目的变式和拓展.
变式1：在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，求AE和BC所成的角.
变式2：在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，求BF和A1D1所成的角.
以上两个变式是对解题目标进行表面变换，实质未变.
拓展：在正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，求AE和CF所成角的大小.
拓展题目的解题背景和条件变换了，但求解的实质还是求两条异面直线所成的角.
常言道：“好记性不如烂笔头.” 教师在引导学生反思解题规律的时候，通常只是口头阐述，导致学生来不及作笔记.所以教师要有适当的板书，要留适当的时间给学生做好简单笔记，这样有利于学生形成反思习惯，提高复习效率. 总之，把以上5个步骤切实运用于课堂教学中，可以大大提高学生解题后反思的兴趣，培养科学的反思习惯，提高解决问题的能力.
关键词：解题后反思；数学题型；解题规律；思维规律
著名数学家波利亚说过：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾与反思.” 可见波利亚非常重视解题后反思的过程. 数学解题后的反思包括反思错解及其原因、反思思维过程、反思解题规律、反思一题多解等等.本文就解题后反思解题规律这一方面进行研究.
许多数学题，具有相同的结构形式，它们的解答形式虽然不相同，但解题思路却有一定的规律. 所以解题后引导学生对题目进行归类，对这类题型的解题规律进行分析归纳，可使学生从题海中解脱出来，提高分析归纳解题规律的能力，也有利于总结解题经验、积累解题方法，从而较快地摸索解题的线索，提高解题能力. 那么解题后如何引导学生反思解题规律呢？可分为下面五个步骤进行.
引导学生反思题目涉及的主要知识点，总结题型
数学题型往往是和知识点联系在一起的，所以要总结题型，应先挖掘出题目所涉及的知识点. 一道题通常包含大量的信息，教师应引导学生去粗取精，理清题干，提炼出关键的解题信息（比如找出已知条件、主要数学概念、要求解的目标或求证的结论）. 这些信息经过整理，用数学语言描述出来后就是题目涉及的主要知识点.最后在这些知识点的基础上，结合题干和解题目标，就容易总结出该类题型.
例1如图1所示，在棱长为a正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，求AE，BF所成角的大小.
图1
解析连结C1E，C1A，因为E，F分别为BB1，CC1的中点，则有EC1∥BF，
所以∠AEC1是异面直线AE，BF所成的角.
因为AE=EC1=a，AC1=a，所以cos∠AEC1==1-=-，从而AE，BF所成的角为arccos.
分析解答完该题后，教师通過一系列的设问，引导学生一步步反思知识点和总结题型（下同）.
教师：解答完这道题，现在让我们来回顾一下本题主要涉及哪些数学概念？
学生：正方体，中点，两直线所成的角度.
教师：同学们回答得很全面，其中两直线是异面直线，因此异面直线所成的角是本题的核心概念.本题的已知条件是什么？解题目标是什么？
学生：已知条件包含正方体棱长，两个中点，AE，BF分别在两个面上；解题目标是求AE，BF所成的角.
教师：所以从已知条件和解题目标可以看出，本题涉及的主要知识点有正方体的性质、余弦定理、异面直线所成的角. 本题题型为求两条异面直线所成的角.
应用“文章”分段法，引导学生反思该题型的解题步骤
日常教学中可以发现，熟悉解题步骤的学生，答题的时候明显更加自信，而且解题所用时间较短，所以反思某个题型的具体解题步骤是有必要的. 总结题型后，教师应引导学生回顾一下解题过程，把它看成是一篇“文章”，然后对该“文章”划分段落. 用数学语言描述出各段落的大意，这就形成该题关键的几个解题步骤.结合例1，教师可以这样引导学生反思解题步骤.
教师：本“文章”可分为几段？各段分别是从哪里到哪里？
学生：分成三段，第一段从开头到“连结C1E，C1A”；第二段到“∠AEC1是异面直线AE，BF所成的角”； 第三段到结束.
教师：各段的段落大意如何？
学生：第一段说的是过一点作平行线，作出一个角；第二段说的是证明上面作出的角是所求异面直线所成的角；第三段说的是把角置于三角形中，通过已知条件和解三角形的知识求出角.
教师：很好，以上三段的段落大意就是本题型的三个解题步骤.
引导学生反思该题型的解题思维规律
解题思维规律是解题规律中最重要的组成部分，掌握了它就能迅速摸索到解题线索，从而拟定具体解题步骤. 我们可以把解题思维规律看成是一篇文章的中心思想，它是各段段落大意和写作意图的高度概括. 所以结合各解题步骤及其意图，经过概括、简化，就能形成解题思维规律. 结合例1，教师可以这样引导学生.
教师：我们知道本题分三个步骤，第一个步骤的意图是什么？
学生：选择恰当的点，通过平移直线后，将空间问题转化为平面问题.
教师：接下来的两个步骤的意图各是什么？
学生：第二个步骤意图是要确定所求的角；第三个步骤意图是在平面内，联系已知条件，算出答案.
教师：我们把这三个目的整理一下便可以得到如下解题规律：欲求两条异面直线所成的角，关键在于选择恰当的点，通过平移一条直线（或两条直线）后，转化为平面问题，最后在平面内把该角求出.
引导学生反思该题型中数学思想方法的应用
数学思想方法是关于怎样进行认知活动的知识，是数学解题规律在更高层次上的抽象和概括. 解题之后对涉及的数学思想方法及时提炼，可以构建学生的知识网络，深化学生的理性认识，提高学生的思维水平. 这个步骤一定要及时，要抓住最佳时机，一旦错过，教学效果会大打折扣. 在教学中，教师应先引导学生对该题型的思维规律进行深层次的概括和提炼，然后体会该数学思想方法在本题中的作用. 结合例1，教师可以这样引导.
教师：请回顾一下本题的思维规律，你认为最核心的是哪个词？
学生：平移.
教师：平移的目的是将三维空间中抽象的角转化为平面问题来解决. 所以最核心的词是哪个？
学生：转化.
教师：对了，就是转化法. 所谓转化法，就是通过把问题适当地变更，进行难易或繁简的转化，从而达到最终解决问题的目的，它是一种常用的好方法. 在本题中，它的作用如何体现呢？
学生：使得求角变得简单.
教师：分析得不够全面. 在三维空间中，要直接用公式计算两异面直线所成的角，以我们现在所学知识很难解决.在平面上，我们已经掌握了一些求角的经验，解决起来相对容易. 这样把空间问题转化为平面问题，使得本题由难变易.
引导学生反思题目的变式和拓展，以巩固对解题规律的掌握
变式和拓展就是针对题目的条件进行变换，或是对原题的所求内容进行拓宽与引申，设计出新题并进行求解. 这样有助于学生全面认识数学知识点的相互关联，能够让学生对数学解题规律的运用达到“学一知二、举一反三”的好效果. 结合例1，教师可以这样引导反思题目的变式和拓展.
变式1：在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，求AE和BC所成的角.
变式2：在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，求BF和A1D1所成的角.
以上两个变式是对解题目标进行表面变换，实质未变.
拓展：在正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，求AE和CF所成角的大小.
拓展题目的解题背景和条件变换了，但求解的实质还是求两条异面直线所成的角.
常言道：“好记性不如烂笔头.” 教师在引导学生反思解题规律的时候，通常只是口头阐述，导致学生来不及作笔记.所以教师要有适当的板书，要留适当的时间给学生做好简单笔记，这样有利于学生形成反思习惯，提高复习效率. 总之，把以上5个步骤切实运用于课堂教学中，可以大大提高学生解题后反思的兴趣，培养科学的反思习惯，提高解决问题的能力.