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[摘 要]本文运用鞅方法求解了Black-Scholes欧式期权定价.
[关键词]Black-Scholes模型;欧式期权
中图分类号:O175 文献标识码:A 文章编号:1009-914X(2018)37-0167-01
下面所有的随机变量或过程均定义在完备的滤波概率空间
Black-Scholes模型:在金融市场中,无风险资产和股票的价格过程分别满足:
其中 为常数.
定义1 欧式看涨期权:(1)期权持有者在时刻T从期权提供者手中以价格K购买一份股票;(2)期权持有者没有义务在时刻T从期权提供者手中购买股票;(3)期权持有者只能在时刻T行使上述权利.
这份期权在T时刻的未定权益价值:
金融市场假設:(1)金融市场是完备的;(2)这份期权作为商品在 时可以在市场中交易;(3)这种交易要求公平,即市场要求自融资策略组合无套利.
假设金融市场有 支股票,股价为 ,我们投资 份额于第 支股票, 记 ,则投资组合价值:
定义2 我们称自融资投资组合 是有套利的,若满足:(1) (2) (3)
定义3 我们称市场无套利,若不存在有套利可能的自融资投资组合 .
性质1 若存在自融资投资组合 ,使资产价值动力子满足 且市场无套利,则必有 为银行无风险利率.
Black-Scholes欧式期权定价公式:
其中
证明 由已知条件,我们得
由Ito公式,得
其中
我们考虑股票 和衍生品 上的相对自融资投资组合 ,从而价值动力子满足:
取 满足 (1)
则
由自融资投资组合无套利,因此 (2)
由(1)(2),我们得 满足:
(3)
因为 (4)
由Girsanov定理,我们可以找到风险中性概率测度 使得 且 显然, 是 上的布朗运动过程.
由(3)(4)及Feynman-Kac公式,得
因为 得
记 ~ ,则
由 所以
记 则
记 则
其中
是 的概率分布函数.
参考文献:
Bjork T. Arbitrage Theory in Continuous Time[M].Oxford University, New York, 2009.
[关键词]Black-Scholes模型;欧式期权
中图分类号:O175 文献标识码:A 文章编号:1009-914X(2018)37-0167-01
下面所有的随机变量或过程均定义在完备的滤波概率空间
Black-Scholes模型:在金融市场中,无风险资产和股票的价格过程分别满足:
其中 为常数.
定义1 欧式看涨期权:(1)期权持有者在时刻T从期权提供者手中以价格K购买一份股票;(2)期权持有者没有义务在时刻T从期权提供者手中购买股票;(3)期权持有者只能在时刻T行使上述权利.
这份期权在T时刻的未定权益价值:
金融市场假設:(1)金融市场是完备的;(2)这份期权作为商品在 时可以在市场中交易;(3)这种交易要求公平,即市场要求自融资策略组合无套利.
假设金融市场有 支股票,股价为 ,我们投资 份额于第 支股票, 记 ,则投资组合价值:
定义2 我们称自融资投资组合 是有套利的,若满足:(1) (2) (3)
定义3 我们称市场无套利,若不存在有套利可能的自融资投资组合 .
性质1 若存在自融资投资组合 ,使资产价值动力子满足 且市场无套利,则必有 为银行无风险利率.
Black-Scholes欧式期权定价公式:
其中
证明 由已知条件,我们得
由Ito公式,得
其中
我们考虑股票 和衍生品 上的相对自融资投资组合 ,从而价值动力子满足:
取 满足 (1)
则
由自融资投资组合无套利,因此 (2)
由(1)(2),我们得 满足:
(3)
因为 (4)
由Girsanov定理,我们可以找到风险中性概率测度 使得 且 显然, 是 上的布朗运动过程.
由(3)(4)及Feynman-Kac公式,得
因为 得
记 ~ ,则
由 所以
记 则
记 则
其中
是 的概率分布函数.
参考文献:
Bjork T. Arbitrage Theory in Continuous Time[M].Oxford University, New York, 2009.