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【摘 要】本文根据线性规划的对偶原理，从数学角度给出了影子价格的经济含义，并且通过lingo软件实例分析了影子价格在生产决策中的应用。
【关键词】线性规划；影子价格；lingo
一、引言
影子价格是现代经济学中的重要参量，广泛应用于宏观经济分析与微观经营活动，是企业适应市场变化，优化配置人、财、物等资源，正确做出经营管理决策的有力工具。本文通过线性规划中原始与对偶问题解的关系，给出对偶问题解的经济意义。同时在实际经济管理活动中，线性规划问题的规模很大，采用lingo软件，我们可以处理复杂的生产决策问题，利用影子价格给出正确的优化改进方案。
二、影子价格的经济含义
分析原始和对偶问题的解有其重要的经济意义，在资源利用问题上，原问题是寻求总体总体效益最大化，那么其对偶问题的解就是影子价格。建立原问题线性规划的数学模型为：
（P）■
其对偶问题可表示为：
（D）■
其中，z为利润，cj为第j个变量的单位利润，xj为第j个变量的单位数，aij为第j单位变量消耗第i种资源数量，bij为第i种资源的单位数。在（D）中引入的新变量为■和w■，根据对偶理论，（p）与（D）的最优值相等，min■=maxz=CX=BW， z/ bi=wi，因此W=（w1，w2，…，wm），可以看作资源增加一个单位时效益的增量。这里，效益的增量可以看作资源的潜在价值，经济学上称为“影子价格”。影子价格反映了资源在生产活动中的稀缺程度，根据互补松紧条件，对于最优解x和w，如果对偶问题中一个约束取严格不等式，则原始问题中对应的变量比取值为零；对称地，如果一个问题中其非负变量取正值，则另一个问题中对应的约束必取等式。，若某个资源的影子价格大于零，则对应的约束方程是等式，即该资源在生产活动中没有剩余，因此，只有稀缺资源的影子价格才会大于零。若影子价格等于零，该资源在生产活动中不一定有剩余，也可能刚刚用完。
三、基于lingo软件的影子价格的具体应用
（1）决策者的投资策略。资源的影子价格实际上表示在某一范围内（保持最优基不变）总收益增加（或减少）的数量与增加（或减少）资源的数量的比值，只有在最优基不变的情况下，影子价格才有意义。因此在实际的生产活动中，决策者不能盲目的增加稀缺资源的数量。如果最优基发生改变，那么计算出的影子价格就没有意义。当然我们通过lingo软件可以确定可增加稀缺资源数量的范围。例如某家具厂制造书桌、餐桌和椅子，所用的资源有三种：木料、木工和漆工。生产数据如表1所示。若要求桌子的生产量不超过5件。
表1
设x1、x2、x3分别表示三种产品的生产量，使总利润最大的线性模型为：
max60x1+30x2+20x3
s.t.
8x1+6x2+x3≤48
4x1+2x2+1.5x3≤20
2x1+1.5x2+0.5x3≤8
x2≤5
end
使用lingo求解该模型得：
得到的最优解（2，0，8），即生产书桌2单位，餐桌不投产，椅子8单位，得到最大利润280单位。dual price给出木料、木工和漆工和桌子生产量的影子价格为（0，10，10，0）。即给出了资源增加一单位时效益的增量。此时木工和漆工是稀缺资源，决策者可以用低于10单位的价格雇佣木工或漆工来提供一单位的资源。木工和漆工的数量是有限制的，要确定雇佣人数的范围，我们需要对资源的影子价格作进一步的分析。影子价格的作用（即在最优解下“资源”增加一个单位时“效益”的增量）是有限制的。利用lingo继续做灵敏度分析得：
从上面的输出可以看出，约束的右端项（CURRENT RHS）的“允许增加”（ALLOWABLE INCREASE）和“允许减少”（ALLOWANCE DECREASE）给出了影子价格有意义条件下的限制范围，因为此时最优基不变，所以影子价格才有意义；如果最优基已经变了，那么结果中给出的影子价格也就不正确了。因此，决策者可以雇佣木工，但是所提供的资源不能超过4个单位，可以雇佣漆工，所提供的资源不能超过1个单位。这儿是可以同时雇佣木工与漆工。（2）产品的重新定价。在求解最优解时，决策者为获取利润最大化，没有对餐桌进行投产，显然是由于餐桌的成品单价较低。那么餐桌要想被重新投入生产，就必须被重新定价，在最优基不变的情况下，利用影子价格可以计算出餐桌能够被投入生产的价格Cj>Σaijwi，只有大于按影子价格计算所消耗资源的支出，才能被投产。（3）工人工资的核算。在实际生产中，由于产品价格变化，雇佣工人的工资也会发生变化，决策者可以用lingo做灵敏度分析做进一步分析。影子价格有意义的前提是最优基保持不变，下面给出了在最优基保持不变时，目标函数系数的变化范围：
x1的系数范围是[60-4，60+20]，x2的上限是35，由于x2不投产，它的下限是无穷小，x2的系数范围[60-5，60+2.5]。显然产品价格在此范围之内决策者不应该改变生产计划，注意：x1的系数变化范围需要x2、x3的系数保持不变，反之亦然。如果雇佣木工或漆工，那么工资不该超过影子价格10单位。如果系数变化超出此范围，那么应该重新使用新数据计算，做灵敏度分析，给出新的生产计划与雇佣工资。
参 考 文 献
[1]谢金星，薛毅.优化建模与LINDO/LINGO软件[M].清华大学出版社，2005（7）
[2]刁在筠，刘桂真.运筹学[M].高等教育出版社，2007（1）
【关键词】线性规划；影子价格；lingo
一、引言
影子价格是现代经济学中的重要参量，广泛应用于宏观经济分析与微观经营活动，是企业适应市场变化，优化配置人、财、物等资源，正确做出经营管理决策的有力工具。本文通过线性规划中原始与对偶问题解的关系，给出对偶问题解的经济意义。同时在实际经济管理活动中，线性规划问题的规模很大，采用lingo软件，我们可以处理复杂的生产决策问题，利用影子价格给出正确的优化改进方案。
二、影子价格的经济含义
分析原始和对偶问题的解有其重要的经济意义，在资源利用问题上，原问题是寻求总体总体效益最大化，那么其对偶问题的解就是影子价格。建立原问题线性规划的数学模型为：
（P）■
其对偶问题可表示为：
（D）■
其中，z为利润，cj为第j个变量的单位利润，xj为第j个变量的单位数，aij为第j单位变量消耗第i种资源数量，bij为第i种资源的单位数。在（D）中引入的新变量为■和w■，根据对偶理论，（p）与（D）的最优值相等，min■=maxz=CX=BW， z/ bi=wi，因此W=（w1，w2，…，wm），可以看作资源增加一个单位时效益的增量。这里，效益的增量可以看作资源的潜在价值，经济学上称为“影子价格”。影子价格反映了资源在生产活动中的稀缺程度，根据互补松紧条件，对于最优解x和w，如果对偶问题中一个约束取严格不等式，则原始问题中对应的变量比取值为零；对称地，如果一个问题中其非负变量取正值，则另一个问题中对应的约束必取等式。，若某个资源的影子价格大于零，则对应的约束方程是等式，即该资源在生产活动中没有剩余，因此，只有稀缺资源的影子价格才会大于零。若影子价格等于零，该资源在生产活动中不一定有剩余，也可能刚刚用完。
三、基于lingo软件的影子价格的具体应用
（1）决策者的投资策略。资源的影子价格实际上表示在某一范围内（保持最优基不变）总收益增加（或减少）的数量与增加（或减少）资源的数量的比值，只有在最优基不变的情况下，影子价格才有意义。因此在实际的生产活动中，决策者不能盲目的增加稀缺资源的数量。如果最优基发生改变，那么计算出的影子价格就没有意义。当然我们通过lingo软件可以确定可增加稀缺资源数量的范围。例如某家具厂制造书桌、餐桌和椅子，所用的资源有三种：木料、木工和漆工。生产数据如表1所示。若要求桌子的生产量不超过5件。
表1
设x1、x2、x3分别表示三种产品的生产量，使总利润最大的线性模型为：
max60x1+30x2+20x3
s.t.
8x1+6x2+x3≤48
4x1+2x2+1.5x3≤20
2x1+1.5x2+0.5x3≤8
x2≤5
end
使用lingo求解该模型得：
得到的最优解（2，0，8），即生产书桌2单位，餐桌不投产，椅子8单位，得到最大利润280单位。dual price给出木料、木工和漆工和桌子生产量的影子价格为（0，10，10，0）。即给出了资源增加一单位时效益的增量。此时木工和漆工是稀缺资源，决策者可以用低于10单位的价格雇佣木工或漆工来提供一单位的资源。木工和漆工的数量是有限制的，要确定雇佣人数的范围，我们需要对资源的影子价格作进一步的分析。影子价格的作用（即在最优解下“资源”增加一个单位时“效益”的增量）是有限制的。利用lingo继续做灵敏度分析得：
从上面的输出可以看出，约束的右端项（CURRENT RHS）的“允许增加”（ALLOWABLE INCREASE）和“允许减少”（ALLOWANCE DECREASE）给出了影子价格有意义条件下的限制范围，因为此时最优基不变，所以影子价格才有意义；如果最优基已经变了，那么结果中给出的影子价格也就不正确了。因此，决策者可以雇佣木工，但是所提供的资源不能超过4个单位，可以雇佣漆工，所提供的资源不能超过1个单位。这儿是可以同时雇佣木工与漆工。（2）产品的重新定价。在求解最优解时，决策者为获取利润最大化，没有对餐桌进行投产，显然是由于餐桌的成品单价较低。那么餐桌要想被重新投入生产，就必须被重新定价，在最优基不变的情况下，利用影子价格可以计算出餐桌能够被投入生产的价格Cj>Σaijwi，只有大于按影子价格计算所消耗资源的支出，才能被投产。（3）工人工资的核算。在实际生产中，由于产品价格变化，雇佣工人的工资也会发生变化，决策者可以用lingo做灵敏度分析做进一步分析。影子价格有意义的前提是最优基保持不变，下面给出了在最优基保持不变时，目标函数系数的变化范围：
x1的系数范围是[60-4，60+20]，x2的上限是35，由于x2不投产，它的下限是无穷小，x2的系数范围[60-5，60+2.5]。显然产品价格在此范围之内决策者不应该改变生产计划，注意：x1的系数变化范围需要x2、x3的系数保持不变，反之亦然。如果雇佣木工或漆工，那么工资不该超过影子价格10单位。如果系数变化超出此范围，那么应该重新使用新数据计算，做灵敏度分析，给出新的生产计划与雇佣工资。
参 考 文 献
[1]谢金星，薛毅.优化建模与LINDO/LINGO软件[M].清华大学出版社，2005（7）
[2]刁在筠，刘桂真.运筹学[M].高等教育出版社，2007（1）