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【摘要】任何一个数，无论大小，只要数字顺序不空缺，它至少包含着1个素数；任何两个相同的数相加，只要数字排列顺序不空缺，至少直接或间接生成一个素数；任何一个偶数最少等于一对两个都是素数的对应数的和；孪生素数随着没有2，3，5的倍数的素数的出现而生成，有着没有2，3，5的倍数的素数尾数的循环周期，随着没有2，3，5的倍数的素数的增大而衰亡.（循环素数大到趋近于无穷大，孪生素数因趋近于无穷大的数不会出现2个所以衰亡）
一、素数的生成
1任何一个数，无论大小，只要数字排列顺序不空缺，它至少包含着1个素数
（1）奇数an=29Sn+1，当Sn中的各节位数相等、排除特殊数后，an就是素数；
（2）偶数an=29(Sn-5)+2分成两个式子：an=29(Sn-5)+2=19(Sn-5)+1+19(Sn-5)+1.当(Sn-5)中的各节位数相等、排除特殊数后，aa和ab就是素数；无论是奇数和偶数的公式中可以看出都包含优素数的成分：29Sn和29(Sn-5)只要Sn和(Sn-5)可以分成9的正整数倍数，an就是两个素数的和.
如1包含着1，1就是素数；1=29S1+1，因为S1=0（1没有可能有的余数，商位及商位和都等于0），所以a1=0+1=1.
2包含着1，2，只要数字排列顺序不空缺，1和2都是素数；a2=210S2+1，因为S2=5（取为整数），所以a2=210×5+1=1+1.
3包含着1，2，3，只要数字排列顺序不空缺，1，2，3都是素数；a3=29S3+1，因为S3=9，所以a3=(2+1).
4包含着1，2，3，4，只要数字排列顺序不空缺，至少包含着1个素数；a4=29(S4-5)+2，因为S4-5=1×9，所以a4=2+2，……
任何一个数，无论大小，只要数字排列顺序不空缺，它至少包含着1个素数.
2任何两个相同的数相加，只要数字排列顺序不空缺，至少直接或间接生成一个素数
（1）两个相同的奇数和：an=29Sn+1+29Sn+1=229Sn+1，因为Sn是9的正整数倍数，所以229Sn+1是偶数（任何整数的2倍都是偶数）.229Sn+1中含有素数的成分29Sn+1里至少包含着1个素数.
（2）两个相同的偶数和：an=29(Sn-5)+1+29(Sn-5)+1=229(Sn-5)+1，229(Sn-5)+1是偶数，可以写成an=29(Sn-5)+2，其中至少包含着1个素数.
1是原始数，是不通过任何运算得到的数，1本身就存在的数.任何数都是由1组成，通过加法逐个增加；通过乘法成倍增加；通过减法逐个减少；通过除法成倍减少.在1之前没有2，是1+1=2，a1+a1=29S1+1+29S1+1,因为S1=0（1没有可能有的余数，商位及商位和都等于0），所以a1+a1=1+1=2.直接生成素数2，至少直接或间接生成一个素数.
在2之前没有3，是2+2=4，为了2~4之间数字排列顺序不空缺，所以补充上3，直接生成偶数4，间接生成了素数3.1，2，3除了1和它自己，不再是任何数的倍数，所以称之为素数.a2+a2=210S2+1+210S2+1，因为S1=5（取为整数），所以a2+a2=2+2=4.直接生成偶数4，间接生成了素数3，a4=29S1+1+29S3+1=1+3，至少间接生成一个素数3.
由于3的出现，就有3+3=6，直接生成偶数6，间接生成素数5.2×3=6，6=3+3，新生成的素数5和原有的素数3形成一对对应素数3和5，分别分布在6/2的前半部分和后半部分中.8=3+5.差额最小的对应素数是3和3，差额最大的对应素数也是3和3.偶数6最少有一对对应素数6=3+3.前3个数是1，2，3，后3个数是4，5，6，由于3+3=6生成了后3个数4，5，6，其中5是素数.在3之前没有5，而是3+3=6，为了3~6之间数字排列顺序不空缺，所以补充上4，5，4是2+2直接生成，5除了1和它自己，不再是任何数的倍数，所以称5为素数.也就是说5是3+3=6间接生成的素数.a3+a3=29S3+1+29S3+1,因为S3=9（取为整数）,所以a3+a3=3+3=6.直接生成偶数6，间接生成了素数5，a6=29(S6-5)+2=29S1+1+29S5+1=1+5，至少间接生成一个素数5.
a6=29(S6-5)+2=29S3+1+29S3+1=3+3.大于等于6小于∞的偶数都是两个素数的和.
对于任何偶数an=29(Sn-5)+2=29Sx+1+29Sy+1=x+y，由一个偶数变成两个素数的和，就要证明这两个由偶数变成的素数是不是真的素数.用于商法验证素数必须的两个条件：（1）各节里的商位位数相等并等于9（是素数或者特殊数）；（2）用判定式kx=kt-kywky+1进行检验，无正整数解时该数才是素数.除1以外（1没有可能有的余数，商位及商位和都等于0.以下同）可能形成两个分别各节商位位数相等的商位和：
（1）可除尽素数商位和基数是102，商位和是5（已取为整数）的数；只可以形成1节1位可除尽素数的商位和，商位和是5的数是可除尽素数2.
（2）循环素数商位和基数是92，商位和是9（已取为整数）的数；可能形成两个分别各节商位位数相等的商位和是92×1×2，1节2位或92×2×1，2节1位循环素数商位和，1节2位循环素数不存在，所以只有是2节1位循环素数，2节1位循环素数是3.
（3）商位和是14（已取为整数）的数；凡商位和不是9或5的正整数倍，该商位和是偶数（2的倍数）的商位和；149=1……5式中商数1表示只有1对对应数的素数.余数5表示是偶数.只有1对对应数的素数是3，余数5表示是偶数是3+1的偶数，就是4.商位和是14的偶数是4.
（4）商位和是20（已取为整数）的数；20是5的正整数倍数205=4，该数是有2对对应数的商位和的可除尽素数，就是可除尽素数5.
（5）商位和是23（已取为整数）的数；23不是9或5的正整数倍，该商位和是偶数（2的倍数）的商位和；239=2……5式中商数2表示只有2对对应数的素数.余数5表示是偶数.有2对对应数的素数是5，余数5表示是偶数是5+1的偶数，就是6.商位和是23的偶数是6.
a6=29(S6-5)+2.因为S6-5=2×9，
所以a6=19(2×9)+1+19(2×9)+1，a6=3+3.
（6）商位和是27（已取为整数）的数；27是9的正整数倍数279=3，该数是有3对对应数的商位和的循环素数，只有1节6位循环素数7.
（7）商位和是32（已取为整数）的数；32不是9或5的正整数倍，该商位和是偶数（2的倍数）的商位和；329=3……5式中商数3表示是有3对对应数的素数.余数5表示是偶数.有3对对应数的素数是7，余数5表示是偶数是7+1的偶数，就是8.商位和是32的偶数是8.
a8=29(S8-5)+2.因为S8-5=3×9，
所以a8=19(1×9)+1+19(2×9)+1，a8=3+5.
上述各数的商位和Sn<4×9，因为最小的特殊数（个位数特殊数）是8节数，只要新产生的数的各节商位位数相等就可以了，新产生的数肯定是素数，而且一个偶数至少有一对两个都是素数的对应的和等于该偶数.
如果商位和Sn≥4×9时，即使新产生的数的各节商位位数相等，也要用判定式kx=kt-kywky+1进行检验，如果判定式无正整数解，那么该数是素数；如果判定式有正整数解，那么该数是特殊数.因为最小的特殊数（个位数特殊数）是8节数，Sn≥4×9可能会出现8节数.如特殊数9它的节数就是8节.特殊数9是8节1位合数，即kt=8，w=1.再设ky=2，把kt=8，w=1，ky=2带入判定式，得kx=8-21×2+1，kx=63=2.判定式显示正整数解，所以即使9的各节商位相等也不是素数而是特殊数.
尽管特殊数的出现占据了一些对应素数对的位置，但是，随着数的增大对应素数对的对数也在增多，而且，对应素数对的增加速度远远大于特殊数个数的增加，如小于9的数没有特殊数，奇数都是素数，大于10的数增加了1个特殊数9，9各节商的位数相等，都是1位，共有8节，但不是素数而是合数.对应素数对增加到2对.如10有2对对应素数对等于10：10=5+5=7+3，12应该有2对，但被特殊数占据1对还有1对：12=3+9=7+5.数字增加到22，对应素数对增加到3对.但特殊数没有增加.
数字增加到94，对应素数对增加到5对.94=3+91=5+89=11+83=23+71=41+53=47+47，特殊数增加到第2个，这个特殊数是91，91是6位15节特殊数.第3个特殊数是4187，第4个特殊数是6533，第5个特殊数是8149，万位数特殊数是10001，十万位数特殊数是102173，百万位数特殊数是1004329，千万位数特殊数是10923709，228位47911节.
特殊数具有素数的一切特性（各节里的商位位数相等、商位和也相等），但不是素数，而是“两个或两个以上相同商位的素数的乘积”.如：9=3×3（n2一般不是特殊数，只有32例外）.第1个3的商位是1位，第2个3的商位也是1位，它们的乘积9是特殊数.如：91=13×7，13的商位是6，7的商位也是6，它们乘积91的商位也是6，91是特殊数.如：20002273=97×206209，97的商位是96，206209的商位也是96，它们的乘积20002273的商位也是96，20002273是特殊数.
相同商位的素数有2个一组的、有3个一组的、有4个一组的、有5个一组的、有6个一组的，个数最多的是7个一组的，只有一组的：
15901636019540111130134980157240015739901它们各个的商位都是15900.
……
尽管特殊数的出现增加、占据了一些对应素数对的位置，但是，大于等于6小于无穷大的偶数最少有1对两个都是素数的对应数的和等于该偶数.
由于出现了5，就有5+5=10，直接生成偶数10，间接生成素数7和特殊数9.大于和等于9，小于无穷大的任何奇数都是3个素数的和.
写出等于9的奇数公式：a9=29S9+1，∴S9=4×9.设一个小于该奇数的已确认的素数为该数的一个加数.设素数3为奇数9的第1个加数a3=29S3+1.
a9=29×4×9+1=29×1×9+1+29×3×9，式中29×3×9=6是偶数，
a9=6+29S3+1，a6=29S3+1+29S3+1，偶数是两个素数的和（见（5）），
a9=29S3+1+29S3+1+29S3+1=3+3+3.
用同样的方法可以得到大于等于9小于∞的任何一个奇数都是3个素数的和.
2×5=10，10=5+5，10=3+7，新生成的素数7和原有的素数5形成12的一对对应素数12=5+7，差额最小的对应素数是5和5，差额最大的对应素数是3和7.偶数10最少有一对对应素数10=3+7.前5个数是1，2，3，4，5，后5个数是6，7，8，9，10.由于5+5=10生成了后5个数6，7，8，9，10.其中7是素数.在5之前没有7，是5+5=10，为了5~10之间数字排列顺序不空缺，所以补充上6，7，8，9，6是3+3直接生成，7除了1和它自己，不再是任何数的倍数，所以称7为素数.也就是说7是5+5=10间接生成的素数.
由于出现了7，就有7+7=14，2×7=14，7+7=14直接生成偶数14，间接生成2个素数11，13，2×7=10，14=7+7，14=3+11，新生成的素数11和原有的素数7形成14的一对对应素数14=3+11，差额最小的对应素数是7和7，差额最大的对应素数是3和11.14最少有一对对应素数14=3+11.前7个数是1，2，3，4，5，6，7，后7个数是8，9，10，11，12，13，14，由于7+7=14生成了后7个数8，9，10，11，12，13，14.其中11，13是素数.在7之前没有11和13，是7+7=14，为了7~14之间数字排列顺序不空缺，所以补充上8，9，11，12，13，8是5+3生成，9是3+3+3生成，11和13除了1和它自己，不再是任何数的倍数，所以称11和13为素数.也就是说11，13是7+7=14间接生成的素数.
由于出现了11，13，就有11+11=22，13+13=26，17+17=34，19+19=38，等等.
……
3任何一个偶数最少等于一对两个都是素数的对应数的和
任何一个数，无论大小，只要数字顺序不空缺，它至少包含着1个素数；任何两个相同的数相加，只要数字排列顺序不空缺，至少直接或间接生成一个素数.新生成的素数和原有的素数形成一对对应素数，它们的和是个偶数.任何一个偶数最少等于一对两个都是素数的对应数的和.
随着素数的增大，新的素数就会不断的出现，新的素数的出现促进更大的素数的产生.
2和5是可除尽素数，公式是an=210Sn+1.
除2和5以外的素数是循环素数，公式是an=29Sn+1.
二、对孪生素数的探讨
1孪生素数的生成
孪生素数：两个素数的差为2的两个素数.大于11的孪生素数属于循环素数，循环素数的尾数只有4个，那就是：1，3，7，9.
数的排列顺序连贯数字的尾数是1，2，3，4，5，6，7，8，9，0……如果没有偶数，（2和2的倍数）数的排列顺序连贯数字的尾数是1，3，5，7，9，循环周期是5/10.如果没有2和5的倍数，排列顺序连贯数字的尾数是1，3，7，9，循环周期是4/10.如果没有2，3，5的倍数排列顺序连贯数字的尾数是1，3，7，9，3，9，1，7.循环周期是8/30①……如果没有1结尾的素数的倍数，数的排列顺序连贯数字的尾数是1，3，7，9；如果没有3结尾的素数的倍数，数的排列顺序连贯数字的尾数是3，9，1，7；如果没有7结尾的素数的倍数，数的排列顺序连贯数字的尾数是7，1，9，3；如果没有9结尾的素数的倍数，数的排列顺序连贯数字的尾数是9，7，3，1.有可能产生孪生素数的就是数的排列顺序连贯数字的尾数是1，3，7，9中的1，3，与7，9和3，9，1，7中的9，1，共3对.而这3对孪生素数的尾数的排列顺序就是没有2，3，5及其倍数的尾数排列顺序.1~9按没有2，3，5及其倍数的尾数排列顺序应该是1，7，也就是把1，2，3，5，7，9去掉2，3，5，9就是1，7（没有2，3，5及其倍数，9是3的倍数）.也就是说孪生素数是没有2，3，5及其倍数的尾数排列顺序的素数所产生的.在72=49以前是纯净的没有2，3，5及其倍数的尾数排列顺序的素数，72以后，7的倍数占据一部分没有2，3，5及其倍数的尾数排列顺序的位置，112以后，又被占据一部分没有2，3，5及其倍数的尾数排列顺序的位置，132再被占据一部分没有2，3，5及其倍数的尾数排列顺序的位置……虽然没有2，3，5及其倍数的尾数排列顺序的位置也随着数字的增加而增多，但孪生素数出现的机率就越来越少.
2孪生素数的循环周期
孪生素数是按周期出现的，第1个循环周期从11开始②，就是11，13，17，19，23，29，31，37，为第1个大周期，它们的尾数分别是1，3，7，9，3，9，1，7.1个小循环周期最多有3对孪生素数，由于第1个大循环周期只是没有2，3，5及其倍数的尾数排列顺序，没有其他素数掺入，所以是孪生素数最全的1个周期，有3对，它们是：11和13，17和19，29和31.
第2个大循环周期有素数7和它的倍数的掺入（必须大于等于72，7×7=49），所以孪生素数只有2对，它们是：41和43，59和61.
第3个大循环周期有素数7的倍数的掺入（必须大于等于72，7×11=77，7×13=91），所以只有1对是孪生素数：71和73.这3个大循环周期每个周期都只包含有1个小循环周期.
从101开始进入第4大循环周期里的第1个小循环周期，那就是：101，103，107，109，113，119，121，127.其中有2对孪生素数101和103，107和109，缺少1对119和121，119是7的倍数（7×17=119，11×11=121）.
第4大循环周期里的第2个小循环周期，那就是：131，133，137，139，143，149，151，157.其中有2对孪生素数137和139，149和151，缺少1对131和133（133=7×19）.
第4大循环周期里的第3个小循环周期，那就是：161，163，167，169，173，179，181，187.其中只有1对孪生素数179和181，缺少2对：161和163，167和169.
第4大循环周期里共有5对孪生素数.
从191开始进入第5大循环周期里的第1个小循环周期，那就是：191，193，197，199，203，309，211，217.其中有2对孪生素数191和193，197和199，缺少1对209和211.
第5大循环周期里的第2个小循环周期，那就是：221，223，227，229，233，239，241，247.其中有2对孪生素数227和229，239和241，缺少1对221和223.
第5大循环周期里的第3个小循环周期，那就是：251，253，257，259，263，269，271，277.其中有1对孪生素数269和271，缺少2对251和253，257和259.
第5大循环周期里共有5对孪生素数.
为了符合孪生素数的规律，孪生素数尾数循环周期的划分有以下规定：（1）小周期要按“没有2，3，5及其倍数的尾数循环周期”为小循环周期，即尾数是1，3，7，9，3，9，1，7，个数是自然数顺序排列不空缺的8/30.（2）大周期是一个或多个小周期组成，且第1对孪生素数的尾数必须是1和3的孪生素数.
以后的大周期因为数字越来越大，周期的开始数也不一定是从整千整万开始，不便排号，所以称某某数前后的周期，如1000前后的周期.
1000前后的周期：881~1027，包括5个小周期（取数时前后都要取10的正整数倍.如：881~1057要取880~1060）有2对孪生素数.它们是：881和883，1019和1021.
10000前后的大周期：9461~10087，包括了21个小周期，有10对孪生素数.它们是：9461和9463，9629和9631，9677和9679，9719和9721，9767和9769，9857和9859，9929和9931，10007和10009，10037和10039，10067和10069.
100000前后的大周期：99131~100157，包括了34个小周期，有7对孪生素数.它们是：99131和99133，99137和99139，99257和99259，99347和99349，99707和99709，99719和99721，99989和99991.
1000000前后的大周期：999611~1000207，包括了20个小周期，有3对孪生素数.它们是：999611和999613，999959和999961，1000037和1000039.
10000000前后的大周期：9999971~10000447，包括了16个小周期，有2对孪生素数.它们是：9999971和9999973，10000139和10000141.
任何一个大循环周期都从尾数是1和尾数3差数为2的两个素数开始.在一个大循环周期里有1个或多个小循环周期.随着数字的增大，大循环周期里的小循环周期的个数也在增多，但不是按比例增加.如第1大周期-第2大周期-第3大周期，每个大周期里都只包括1个小周期.在从99997871~100000543这个大周期里，就包括了89个小循环周期.只有7对孪生素数.也就是说孪生素数的个数随着数字的增大出现的机率越来越少.
3生素数的衰亡
孪生素数不会大到趋近于无穷大，因为任何数大到趋近于无穷大时趋近于2，素数大到趋近于无穷大时也趋近于2，两个相同的素数不是孪生素数.
29Sb+1-29Sa+1=2.
当aa和ab→∞时，
29Sb+1→2，29Sa+1→2，29Sb+1-29Sa+1→0.所以孪生素数不存在.
但也不会马上消失，在一个大循环周期里有的小循环周期最多有3对孪生素数，有的小循环周期有2对孪生素数，有的小循环周期有1对孪生素数，有的小循环周期没有孪生素数，大周期里的小周期个数越来越多，没有孪生素数的小周期个数也越来越多，孪生素数个数总数越来越少，直至一个大周期里找不到一对孪生素数时，此时孪生素数就衰亡.
孪生素数的公式是29Sb+1-29Sa+1=2.
注释 ①请参看王元和《7千万以内带有商位和节数的素数表》中的综合表（A~A）表.该表的数字的尾数全部是1，3，7，9，3，9，1，7排列的.
②1~9是个不完全周期，完全周期的尾数是1，3，7，9，3，9，1，7，所以从11开始.
③文中全部公式引用于《余商法》.
【参考文献】
［1］王元和.余商法.中国科教创新导刊，2009（32）：90.
［2］王元和.用《余商法》的公式证明哥德巴赫猜想.2011（5）：88.
［3］王元和.7千万以内带有商位和节数的素数表.博客网址：http://blog.163.com/p-n-wang/.
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一、素数的生成
1任何一个数，无论大小，只要数字排列顺序不空缺，它至少包含着1个素数
（1）奇数an=29Sn+1，当Sn中的各节位数相等、排除特殊数后，an就是素数；
（2）偶数an=29(Sn-5)+2分成两个式子：an=29(Sn-5)+2=19(Sn-5)+1+19(Sn-5)+1.当(Sn-5)中的各节位数相等、排除特殊数后，aa和ab就是素数；无论是奇数和偶数的公式中可以看出都包含优素数的成分：29Sn和29(Sn-5)只要Sn和(Sn-5)可以分成9的正整数倍数，an就是两个素数的和.
如1包含着1，1就是素数；1=29S1+1，因为S1=0（1没有可能有的余数，商位及商位和都等于0），所以a1=0+1=1.
2包含着1，2，只要数字排列顺序不空缺，1和2都是素数；a2=210S2+1，因为S2=5（取为整数），所以a2=210×5+1=1+1.
3包含着1，2，3，只要数字排列顺序不空缺，1，2，3都是素数；a3=29S3+1，因为S3=9，所以a3=(2+1).
4包含着1，2，3，4，只要数字排列顺序不空缺，至少包含着1个素数；a4=29(S4-5)+2，因为S4-5=1×9，所以a4=2+2，……
任何一个数，无论大小，只要数字排列顺序不空缺，它至少包含着1个素数.
2任何两个相同的数相加，只要数字排列顺序不空缺，至少直接或间接生成一个素数
（1）两个相同的奇数和：an=29Sn+1+29Sn+1=229Sn+1，因为Sn是9的正整数倍数，所以229Sn+1是偶数（任何整数的2倍都是偶数）.229Sn+1中含有素数的成分29Sn+1里至少包含着1个素数.
（2）两个相同的偶数和：an=29(Sn-5)+1+29(Sn-5)+1=229(Sn-5)+1，229(Sn-5)+1是偶数，可以写成an=29(Sn-5)+2，其中至少包含着1个素数.
1是原始数，是不通过任何运算得到的数，1本身就存在的数.任何数都是由1组成，通过加法逐个增加；通过乘法成倍增加；通过减法逐个减少；通过除法成倍减少.在1之前没有2，是1+1=2，a1+a1=29S1+1+29S1+1,因为S1=0（1没有可能有的余数，商位及商位和都等于0），所以a1+a1=1+1=2.直接生成素数2，至少直接或间接生成一个素数.
在2之前没有3，是2+2=4，为了2~4之间数字排列顺序不空缺，所以补充上3，直接生成偶数4，间接生成了素数3.1，2，3除了1和它自己，不再是任何数的倍数，所以称之为素数.a2+a2=210S2+1+210S2+1，因为S1=5（取为整数），所以a2+a2=2+2=4.直接生成偶数4，间接生成了素数3，a4=29S1+1+29S3+1=1+3，至少间接生成一个素数3.
由于3的出现，就有3+3=6，直接生成偶数6，间接生成素数5.2×3=6，6=3+3，新生成的素数5和原有的素数3形成一对对应素数3和5，分别分布在6/2的前半部分和后半部分中.8=3+5.差额最小的对应素数是3和3，差额最大的对应素数也是3和3.偶数6最少有一对对应素数6=3+3.前3个数是1，2，3，后3个数是4，5，6，由于3+3=6生成了后3个数4，5，6，其中5是素数.在3之前没有5，而是3+3=6，为了3~6之间数字排列顺序不空缺，所以补充上4，5，4是2+2直接生成，5除了1和它自己，不再是任何数的倍数，所以称5为素数.也就是说5是3+3=6间接生成的素数.a3+a3=29S3+1+29S3+1,因为S3=9（取为整数）,所以a3+a3=3+3=6.直接生成偶数6，间接生成了素数5，a6=29(S6-5)+2=29S1+1+29S5+1=1+5，至少间接生成一个素数5.
a6=29(S6-5)+2=29S3+1+29S3+1=3+3.大于等于6小于∞的偶数都是两个素数的和.
对于任何偶数an=29(Sn-5)+2=29Sx+1+29Sy+1=x+y，由一个偶数变成两个素数的和，就要证明这两个由偶数变成的素数是不是真的素数.用于商法验证素数必须的两个条件：（1）各节里的商位位数相等并等于9（是素数或者特殊数）；（2）用判定式kx=kt-kywky+1进行检验，无正整数解时该数才是素数.除1以外（1没有可能有的余数，商位及商位和都等于0.以下同）可能形成两个分别各节商位位数相等的商位和：
（1）可除尽素数商位和基数是102，商位和是5（已取为整数）的数；只可以形成1节1位可除尽素数的商位和，商位和是5的数是可除尽素数2.
（2）循环素数商位和基数是92，商位和是9（已取为整数）的数；可能形成两个分别各节商位位数相等的商位和是92×1×2，1节2位或92×2×1，2节1位循环素数商位和，1节2位循环素数不存在，所以只有是2节1位循环素数，2节1位循环素数是3.
（3）商位和是14（已取为整数）的数；凡商位和不是9或5的正整数倍，该商位和是偶数（2的倍数）的商位和；149=1……5式中商数1表示只有1对对应数的素数.余数5表示是偶数.只有1对对应数的素数是3，余数5表示是偶数是3+1的偶数，就是4.商位和是14的偶数是4.
（4）商位和是20（已取为整数）的数；20是5的正整数倍数205=4，该数是有2对对应数的商位和的可除尽素数，就是可除尽素数5.
（5）商位和是23（已取为整数）的数；23不是9或5的正整数倍，该商位和是偶数（2的倍数）的商位和；239=2……5式中商数2表示只有2对对应数的素数.余数5表示是偶数.有2对对应数的素数是5，余数5表示是偶数是5+1的偶数，就是6.商位和是23的偶数是6.
a6=29(S6-5)+2.因为S6-5=2×9，
所以a6=19(2×9)+1+19(2×9)+1，a6=3+3.
（6）商位和是27（已取为整数）的数；27是9的正整数倍数279=3，该数是有3对对应数的商位和的循环素数，只有1节6位循环素数7.
（7）商位和是32（已取为整数）的数；32不是9或5的正整数倍，该商位和是偶数（2的倍数）的商位和；329=3……5式中商数3表示是有3对对应数的素数.余数5表示是偶数.有3对对应数的素数是7，余数5表示是偶数是7+1的偶数，就是8.商位和是32的偶数是8.
a8=29(S8-5)+2.因为S8-5=3×9，
所以a8=19(1×9)+1+19(2×9)+1，a8=3+5.
上述各数的商位和Sn<4×9，因为最小的特殊数（个位数特殊数）是8节数，只要新产生的数的各节商位位数相等就可以了，新产生的数肯定是素数，而且一个偶数至少有一对两个都是素数的对应的和等于该偶数.
如果商位和Sn≥4×9时，即使新产生的数的各节商位位数相等，也要用判定式kx=kt-kywky+1进行检验，如果判定式无正整数解，那么该数是素数；如果判定式有正整数解，那么该数是特殊数.因为最小的特殊数（个位数特殊数）是8节数，Sn≥4×9可能会出现8节数.如特殊数9它的节数就是8节.特殊数9是8节1位合数，即kt=8，w=1.再设ky=2，把kt=8，w=1，ky=2带入判定式，得kx=8-21×2+1，kx=63=2.判定式显示正整数解，所以即使9的各节商位相等也不是素数而是特殊数.
尽管特殊数的出现占据了一些对应素数对的位置，但是，随着数的增大对应素数对的对数也在增多，而且，对应素数对的增加速度远远大于特殊数个数的增加，如小于9的数没有特殊数，奇数都是素数，大于10的数增加了1个特殊数9，9各节商的位数相等，都是1位，共有8节，但不是素数而是合数.对应素数对增加到2对.如10有2对对应素数对等于10：10=5+5=7+3，12应该有2对，但被特殊数占据1对还有1对：12=3+9=7+5.数字增加到22，对应素数对增加到3对.但特殊数没有增加.
数字增加到94，对应素数对增加到5对.94=3+91=5+89=11+83=23+71=41+53=47+47，特殊数增加到第2个，这个特殊数是91，91是6位15节特殊数.第3个特殊数是4187，第4个特殊数是6533，第5个特殊数是8149，万位数特殊数是10001，十万位数特殊数是102173，百万位数特殊数是1004329，千万位数特殊数是10923709，228位47911节.
特殊数具有素数的一切特性（各节里的商位位数相等、商位和也相等），但不是素数，而是“两个或两个以上相同商位的素数的乘积”.如：9=3×3（n2一般不是特殊数，只有32例外）.第1个3的商位是1位，第2个3的商位也是1位，它们的乘积9是特殊数.如：91=13×7，13的商位是6，7的商位也是6，它们乘积91的商位也是6，91是特殊数.如：20002273=97×206209，97的商位是96，206209的商位也是96，它们的乘积20002273的商位也是96，20002273是特殊数.
相同商位的素数有2个一组的、有3个一组的、有4个一组的、有5个一组的、有6个一组的，个数最多的是7个一组的，只有一组的：
15901636019540111130134980157240015739901它们各个的商位都是15900.
……
尽管特殊数的出现增加、占据了一些对应素数对的位置，但是，大于等于6小于无穷大的偶数最少有1对两个都是素数的对应数的和等于该偶数.
由于出现了5，就有5+5=10，直接生成偶数10，间接生成素数7和特殊数9.大于和等于9，小于无穷大的任何奇数都是3个素数的和.
写出等于9的奇数公式：a9=29S9+1，∴S9=4×9.设一个小于该奇数的已确认的素数为该数的一个加数.设素数3为奇数9的第1个加数a3=29S3+1.
a9=29×4×9+1=29×1×9+1+29×3×9，式中29×3×9=6是偶数，
a9=6+29S3+1，a6=29S3+1+29S3+1，偶数是两个素数的和（见（5）），
a9=29S3+1+29S3+1+29S3+1=3+3+3.
用同样的方法可以得到大于等于9小于∞的任何一个奇数都是3个素数的和.
2×5=10，10=5+5，10=3+7，新生成的素数7和原有的素数5形成12的一对对应素数12=5+7，差额最小的对应素数是5和5，差额最大的对应素数是3和7.偶数10最少有一对对应素数10=3+7.前5个数是1，2，3，4，5，后5个数是6，7，8，9，10.由于5+5=10生成了后5个数6，7，8，9，10.其中7是素数.在5之前没有7，是5+5=10，为了5~10之间数字排列顺序不空缺，所以补充上6，7，8，9，6是3+3直接生成，7除了1和它自己，不再是任何数的倍数，所以称7为素数.也就是说7是5+5=10间接生成的素数.
由于出现了7，就有7+7=14，2×7=14，7+7=14直接生成偶数14，间接生成2个素数11，13，2×7=10，14=7+7，14=3+11，新生成的素数11和原有的素数7形成14的一对对应素数14=3+11，差额最小的对应素数是7和7，差额最大的对应素数是3和11.14最少有一对对应素数14=3+11.前7个数是1，2，3，4，5，6，7，后7个数是8，9，10，11，12，13，14，由于7+7=14生成了后7个数8，9，10，11，12，13，14.其中11，13是素数.在7之前没有11和13，是7+7=14，为了7~14之间数字排列顺序不空缺，所以补充上8，9，11，12，13，8是5+3生成，9是3+3+3生成，11和13除了1和它自己，不再是任何数的倍数，所以称11和13为素数.也就是说11，13是7+7=14间接生成的素数.
由于出现了11，13，就有11+11=22，13+13=26，17+17=34，19+19=38，等等.
……
3任何一个偶数最少等于一对两个都是素数的对应数的和
任何一个数，无论大小，只要数字顺序不空缺，它至少包含着1个素数；任何两个相同的数相加，只要数字排列顺序不空缺，至少直接或间接生成一个素数.新生成的素数和原有的素数形成一对对应素数，它们的和是个偶数.任何一个偶数最少等于一对两个都是素数的对应数的和.
随着素数的增大，新的素数就会不断的出现，新的素数的出现促进更大的素数的产生.
2和5是可除尽素数，公式是an=210Sn+1.
除2和5以外的素数是循环素数，公式是an=29Sn+1.
二、对孪生素数的探讨
1孪生素数的生成
孪生素数：两个素数的差为2的两个素数.大于11的孪生素数属于循环素数，循环素数的尾数只有4个，那就是：1，3，7，9.
数的排列顺序连贯数字的尾数是1，2，3，4，5，6，7，8，9，0……如果没有偶数，（2和2的倍数）数的排列顺序连贯数字的尾数是1，3，5，7，9，循环周期是5/10.如果没有2和5的倍数，排列顺序连贯数字的尾数是1，3，7，9，循环周期是4/10.如果没有2，3，5的倍数排列顺序连贯数字的尾数是1，3，7，9，3，9，1，7.循环周期是8/30①……如果没有1结尾的素数的倍数，数的排列顺序连贯数字的尾数是1，3，7，9；如果没有3结尾的素数的倍数，数的排列顺序连贯数字的尾数是3，9，1，7；如果没有7结尾的素数的倍数，数的排列顺序连贯数字的尾数是7，1，9，3；如果没有9结尾的素数的倍数，数的排列顺序连贯数字的尾数是9，7，3，1.有可能产生孪生素数的就是数的排列顺序连贯数字的尾数是1，3，7，9中的1，3，与7，9和3，9，1，7中的9，1，共3对.而这3对孪生素数的尾数的排列顺序就是没有2，3，5及其倍数的尾数排列顺序.1~9按没有2，3，5及其倍数的尾数排列顺序应该是1，7，也就是把1，2，3，5，7，9去掉2，3，5，9就是1，7（没有2，3，5及其倍数，9是3的倍数）.也就是说孪生素数是没有2，3，5及其倍数的尾数排列顺序的素数所产生的.在72=49以前是纯净的没有2，3，5及其倍数的尾数排列顺序的素数，72以后，7的倍数占据一部分没有2，3，5及其倍数的尾数排列顺序的位置，112以后，又被占据一部分没有2，3，5及其倍数的尾数排列顺序的位置，132再被占据一部分没有2，3，5及其倍数的尾数排列顺序的位置……虽然没有2，3，5及其倍数的尾数排列顺序的位置也随着数字的增加而增多，但孪生素数出现的机率就越来越少.
2孪生素数的循环周期
孪生素数是按周期出现的，第1个循环周期从11开始②，就是11，13，17，19，23，29，31，37，为第1个大周期，它们的尾数分别是1，3，7，9，3，9，1，7.1个小循环周期最多有3对孪生素数，由于第1个大循环周期只是没有2，3，5及其倍数的尾数排列顺序，没有其他素数掺入，所以是孪生素数最全的1个周期，有3对，它们是：11和13，17和19，29和31.
第2个大循环周期有素数7和它的倍数的掺入（必须大于等于72，7×7=49），所以孪生素数只有2对，它们是：41和43，59和61.
第3个大循环周期有素数7的倍数的掺入（必须大于等于72，7×11=77，7×13=91），所以只有1对是孪生素数：71和73.这3个大循环周期每个周期都只包含有1个小循环周期.
从101开始进入第4大循环周期里的第1个小循环周期，那就是：101，103，107，109，113，119，121，127.其中有2对孪生素数101和103，107和109，缺少1对119和121，119是7的倍数（7×17=119，11×11=121）.
第4大循环周期里的第2个小循环周期，那就是：131，133，137，139，143，149，151，157.其中有2对孪生素数137和139，149和151，缺少1对131和133（133=7×19）.
第4大循环周期里的第3个小循环周期，那就是：161，163，167，169，173，179，181，187.其中只有1对孪生素数179和181，缺少2对：161和163，167和169.
第4大循环周期里共有5对孪生素数.
从191开始进入第5大循环周期里的第1个小循环周期，那就是：191，193，197，199，203，309，211，217.其中有2对孪生素数191和193，197和199，缺少1对209和211.
第5大循环周期里的第2个小循环周期，那就是：221，223，227，229，233，239，241，247.其中有2对孪生素数227和229，239和241，缺少1对221和223.
第5大循环周期里的第3个小循环周期，那就是：251，253，257，259，263，269，271，277.其中有1对孪生素数269和271，缺少2对251和253，257和259.
第5大循环周期里共有5对孪生素数.
为了符合孪生素数的规律，孪生素数尾数循环周期的划分有以下规定：（1）小周期要按“没有2，3，5及其倍数的尾数循环周期”为小循环周期，即尾数是1，3，7，9，3，9，1，7，个数是自然数顺序排列不空缺的8/30.（2）大周期是一个或多个小周期组成，且第1对孪生素数的尾数必须是1和3的孪生素数.
以后的大周期因为数字越来越大，周期的开始数也不一定是从整千整万开始，不便排号，所以称某某数前后的周期，如1000前后的周期.
1000前后的周期：881~1027，包括5个小周期（取数时前后都要取10的正整数倍.如：881~1057要取880~1060）有2对孪生素数.它们是：881和883，1019和1021.
10000前后的大周期：9461~10087，包括了21个小周期，有10对孪生素数.它们是：9461和9463，9629和9631，9677和9679，9719和9721，9767和9769，9857和9859，9929和9931，10007和10009，10037和10039，10067和10069.
100000前后的大周期：99131~100157，包括了34个小周期，有7对孪生素数.它们是：99131和99133，99137和99139，99257和99259，99347和99349，99707和99709，99719和99721，99989和99991.
1000000前后的大周期：999611~1000207，包括了20个小周期，有3对孪生素数.它们是：999611和999613，999959和999961，1000037和1000039.
10000000前后的大周期：9999971~10000447，包括了16个小周期，有2对孪生素数.它们是：9999971和9999973，10000139和10000141.
任何一个大循环周期都从尾数是1和尾数3差数为2的两个素数开始.在一个大循环周期里有1个或多个小循环周期.随着数字的增大，大循环周期里的小循环周期的个数也在增多，但不是按比例增加.如第1大周期-第2大周期-第3大周期，每个大周期里都只包括1个小周期.在从99997871~100000543这个大周期里，就包括了89个小循环周期.只有7对孪生素数.也就是说孪生素数的个数随着数字的增大出现的机率越来越少.
3生素数的衰亡
孪生素数不会大到趋近于无穷大，因为任何数大到趋近于无穷大时趋近于2，素数大到趋近于无穷大时也趋近于2，两个相同的素数不是孪生素数.
29Sb+1-29Sa+1=2.
当aa和ab→∞时，
29Sb+1→2，29Sa+1→2，29Sb+1-29Sa+1→0.所以孪生素数不存在.
但也不会马上消失，在一个大循环周期里有的小循环周期最多有3对孪生素数，有的小循环周期有2对孪生素数，有的小循环周期有1对孪生素数，有的小循环周期没有孪生素数，大周期里的小周期个数越来越多，没有孪生素数的小周期个数也越来越多，孪生素数个数总数越来越少，直至一个大周期里找不到一对孪生素数时，此时孪生素数就衰亡.
孪生素数的公式是29Sb+1-29Sa+1=2.
注释 ①请参看王元和《7千万以内带有商位和节数的素数表》中的综合表（A~A）表.该表的数字的尾数全部是1，3，7，9，3，9，1，7排列的.
②1~9是个不完全周期，完全周期的尾数是1，3，7，9，3，9，1，7，所以从11开始.
③文中全部公式引用于《余商法》.
【参考文献】
［1］王元和.余商法.中国科教创新导刊，2009（32）：90.
［2］王元和.用《余商法》的公式证明哥德巴赫猜想.2011（5）：88.
［3］王元和.7千万以内带有商位和节数的素数表.博客网址：http://blog.163.com/p-n-wang/.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文