数学建模思想在高等数学教学中的应用

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  摘要:
  根据目前高等数学教学的现状和存在的问题,分析了教学中引入数学建模思想的作用和意义。以目前经济生活中的热点问题,买房抵押贷款问题,作为一个课堂案例,提出了融入数学建模思想的案例教学模式,并对其成效和不足进行了分析和总结。
  关键词:
  数学建模;案例教学;抵押贷款;利率;差分方程
  中图分类号:
  G4
  文献标识码:A
  文章编号:16723198(2015)02012302
  1引言
  在现代经济社会中,数学几乎渗透到了每一个领域和学科,发挥了实质性的作用。应市场需求,人才市场要求大学毕业生应当具备一定的数学应用意识和能力。因而,在高等数学教学中,培养学生的应用意识是数学课程的重要目标,我们应非常注意提高数学建模的教学。
  目前,传统数学教学仍然以讲授方式为主,主要重视学生对理论知识的掌握,忽视了学生应用知识和解决问题的能力。造成这种情况的主要原因总结如下:
  (1)各类数学课程内容多,教材陈旧,教学手段单一。
  (2)重视教学内容、手段和方法的改革,而忽视了教学模式的改革。
  (3)考核形式上以书面答卷为主,忽视了对学生学习过程和解决实际问题等能力的考查。
  将数学建模思想引入到高等数学教学过程中,通过与学生专业或生活实际紧密相关的案例进行教学,不仅有利于激发学生的学习兴趣,而且有利于提高学生的数学素养,把学生培养成为满足市场需求的应用型人才。这也与当今大学教育要全面提高学生素质,培养有创新精神的复合型人才的目标想吻合。
  一般地,假设不同,所使用的数学方法不同,可能会得到不同的数学模型,这些模型可能都是正确合理的。例如,我们提出的买房抵押贷款问题,可以采用迭代的方法建立模型(即我们给出的方法1),也可以利用查分方程的方法建立数学模型(即我们给出的方法2),还可以利用等比数列的方法建立其模型(即我们给出的方法3)。这正是开放式问题、发散式思维,和创造性能力的体现。我们给学生留下了极大的发挥空间,任凭学生去创造和创新,在应用过程中巩固知识,用巩固的知识解决问题。将数学建模思想引入高等数学教学,是培养应用型和创新型人才的极好方式,其作用是其他任何课堂教学无法替代的。
  2课堂案例——买房抵押贷款问题
  1989年,Galbraith对数学建模提出了三种教学方法:一般应用方法,构造模型方法和开放建模方法。我们提出的课堂案例属于开放建模方法,即学生结合生活常识,借助一切网络手段,运用数学知识讨论学习的方法。这种方法更加注重建模的前三个阶段。
  2.1阶段1—现实问题:买房抵押贷款
  市民购买首套住房,一次性付清房款的,可申请抵押贷款,贷款部分不超过房价的70%,利率高于银行存款利率。
  问题:小王夫妇都是工薪阶层,每月还款能力在2500元以内,要购买50平方米的两居室住房一套,共70万元。他们自己设法筹集到34万元,另外36万元申请抵押贷款。月利息0.005,计划期限为25年。试问小王夫妇每月要还多少钱?
  2.2阶段2—问题假设:等额本金和等额本息
  目前,银行按揭有两种方式:等额本金和等额本息,有着不同的还贷方式和利息计算方法,适用于不同是人群。引导学生们利用网络,了解两种按揭方式及其利息和每月还款额的计算方式,分组讨论,总结出两种方式的优缺点及其使用人群,制作成表格对比分析,为小王夫妇选择一种最适合他们的按揭方式。
  经过讨论分析,在选择按揭方式之后,就要针对问题变量进行分析并提出假设。我们可以设时间单位为月,设抵押贷款期限为n个月,贷款额为a0月利率为R。比如,我们选择等额本息方式,按复利计算,我们可以设每月应还款x元。或者,我们可以设yt为t月后仍欠款数额,则y0=a0元,y25=0元。方法并不唯一,学生们有着充分的开放空间设计和想象。
  2.3阶段3—数学建模:数学问题公式化
  一般地,假设不同,所使用的数学方法不同,可能会得到不同的数学模型,这些模型可能都是正确合理的。以下讨论我们以复杂情况下的等额本息方式为例:
  2.4课堂延伸
  在完成建模和求解数学问题之后,我们还可以数值对比两种按揭方式的具体还款金额和所付利息,并且结合当下的提前还款、额外还款、双速还款和缩短年限等业务,帮助小李夫妇合理配置资金,组合出一套最符合实际,又最经济实惠的理财贷款计划。
  同时,我们还可以鼓励学生们利用计算机编程语言,依据我们的数学模型,编写出一套方便又使用的计算机程序软件,帮助人们能够快速准确地计算出每月还款金额,并可以像理财专家一样配置出符合自己的一套理财贷款计划。
  3案例启示
  数学绝不仅仅只是学习知识,不是教条式地背诵公式和定理。学习数学更多的应该是感受一种理性严谨的思维方式和思考方法,所以在知识之上,我们更应该关注思。学的最终目的是要会用,用数学思考方法,用数学解决问题,同时还要辅助计算机等一切可以借助的信息工具,在原有的基础上发现和创新。我认为这才是学习数学的目的,而这一切都被巧妙得渗透在数学建模的整个过程中。所以,将数学建模思想渗透在高等数学教学中,是我们传统数学教育亟待革新的转折点。
  在教学过程的各个阶段中,学生始终是自由发挥的主角,而老师的角色只是引导,提供机会给学生学习以及通过建模让学生学习思考。学生们通过大量的信息搜索和观察应用,可以取得自信和学到数学建模的技巧,找到学习数学和专业延伸的兴趣,体会到创新和创造的满足感和成就感。从我们选取的课堂案例不难看出,数学建模案例更加贴近学生们的生活,情境直观逼真,利于激发学生们的生活经验,真实地解决实际问题。知识创新、方法创新、结果创新、应用创新无不在数学建模的过程中得到体现,从而也应当在高等数学的教学中得到充分体现。
  参考文献
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