摘要：基于Fourier积分变换和虚功原理，形成了频域-波数域比例边界有限元法，分析了移动荷载作用下半空间域弹性空间动力响应。首先对半无限域弹性体的动力控制方程进行时间到频域，荷载移动方向的空间域到波数的Fourier积分变换，然后选择比例中心，利用虚功原理，在地铁隧道孔洞横截面环向上采用有限元法意义离散，建立了频域一波数域比例边界有限元方程，进而形成了一阶微分矩阵方程形式的半无限空间动力刚度。文中理论推导表明：利用文中方法分析半无限域中沿地铁隧道结构纵轴向的移动荷载动力响应问题，不仅可避免无穷边界计算处理误差，而且可极大减小计算分析量。计算结果表明：半无限弹性地基的振动响应随移动荷载速度增大而增大，尤其是当荷载速度增大到土体剪切波速后，振动波传播到土体表面引起土体振动显著增大，土体振动性增大，将会对土体及表面结构的安全性形成一定影响，另一方面土体的振动在沿地铁隧道纵轴向的衰减比竖向慢。
　　关键词：土动力学；半无限弹性空间；虚功原理；移动荷载；频域一波数域比例边界有限元法
　　引言
　　对于半无限地基土体动力响应，采用有限元法，不可避免需建立有效的人工边界与合理离散网格。尽管目前国内外学者已建立了具有各自优点的人工边界模型动力有限元法，分析无限域地基土体动力问题，但仍不具有有限元意义上的精确性，即低阶边界精度不足、高阶边界稳定性差，离散网格无限小时数值解难以后收敛到精确解。采用三维空间域的时域动力有限元模型分析移动荷载作用下半无限域动力响应，为保证计算精度，尤其是移动荷载速度接近弹性体剪切波速时，要求地基离散范围必须足够大，单元尺寸足够小，必然造成计算模型自由度增大，导致占用计算机资源较大、计算时间长，甚至其计算难以实现。为解决结构-地基动力相互作用问题中无限域动力刚度计算，wolf&song对弹性动力学基本方程采用坐标变换和加权余量法，基于相似性和有限元法的算法，首次提出了比例边界有限元方法。Deeks&Wolf应用虚功原理重新推导了弹性静力学问题的比例边界有限元方程。目前比例边界有限元法已应用于时域、频域中无限域波动问题分析、无限地基的边界动力刚度矩阵等的求解，如：Deeks&Wolf应用比例边界有限元方法，求解了二维无限域的弹性静力學问题。Song&wolf分析了各向异性材料的断裂问题。林皋和杜建国分析了坝面动水压力问题。Zhang和wegner等利用比例边界有限元方法求解出时域下无限地基的加速度单位脉冲响应函数，分析了三维结构-地基动力相互作用。利用有限元来模拟结构和近场地基，比例边界有限元模拟结构两侧的无限地基，边界元模拟结构底部无限地基，Genes&KOeak形成了FE-BE-SBFEM耦合法，分析了结构-层状地基动力相互作用问题。
　　考虑到半空间域中的移动荷载运动方向与无限域中结构的纵轴向一致性，对荷载移动方向采用空间域-波数的Fourier积分变换，可使3D空间转化为2D平面问题计算，极大地减小计算工作量。同时利用比例边界有限元法在环向上采用有限元法意义的离散，半无限径向进行准确的解析求解，避免无限边界计算误差，形成频域一波数域比例边界有限元法，得到半无限域土体的精确动力刚度，分析时间-空间域半无限域土体动力响应，目前尚未有文献报道。基于此，本文拟利用荷载移动方向的空间到波数域的Fourier积分变换，结合虚功原理，建立频域-波数域内的比例边界有限元方程，分析时间-空间域移动荷载作用下半空间的动力响应。