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【摘 要】本文通过对课本上的一道习题历经一年的反复探究，展现出不同学生、不同阶段、不同数学思维所产生的不同解决方法。在这个探究过程中，学生成长的是自信，积累的是经验，沉淀的是数学思想方法。
【关键词】数学思维；解决方法；数学思想
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）10-0172-02
1 课本习题初探究
在教育部2013年审定的人教版八年级下册教材第十八章复习题中的第14题[1]，如一壶琼浆玉液，芳香醇厚，值得用一年的时间慢慢品尝。原题如下。
如图1-1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=900，且EF交正方形ABCD外角的平分线CF于点F。求证：AE=EF。（提示：取AB的中点G，连接EG。）
此题综合考查了正方形、等腰直角三角形、直角三角形、全等三角形、角平分线等知识，难点是构造等腰直角三角形，为证明三角形全等提供条件。
2 函数思想再解题
在学习一次函数时，笔者建议学生尝试用函数的知识去解决这道题。
提示如下：如图2-1所示，建立坐标系，求点F的坐标；为便于计算和降低难度，可假设AB边长度为2。一部分学生运用全等三角形的知识，在EF上求得一点M（其实这个点就是点F）的坐标是（3，1），从而求得直线EF的解析式，与CF的解析式联立方程组，求出点F的坐标，进而利用勾股定理得出结论；另一部分学生运用“两直线y=k1x+b1与y=k2x+b2互相垂直时，k1k2=-1”的知识解决。此解巧妙地运用函数模型求得交点坐标，避免了构造等腰直角三角形和全等三角形的繁琐。为了证明的严谨性，可将AB边长设为2a，再进行推理计算。
此解法的出现，就像一阵清风吹过湖面，泛起层层涟漪，让学生打开了用代数方法解决几何问题的一
扇窗。
3 思维迁移巧解题
在八年级下学期总复习时，笔者将此题的条件稍作改动，第三次呈现。
如图3-1，四边形ABCD是正方形，点E在BC边上，∠AEF=90°，射线EF交正方形ABCD外角的平分线CF于点F。求证：AE=EF。
学生很容易产生思维迁移，把点E为中点时构造等腰三角形的办法迁移至点E为BC边上任意一点，从而构造出全等三角形证得结论，如图3-2所示。
有的学生尝试利用对称性构造三角形全等，然后证得等腰三角形，如图3-3所示。有的学生由图3-3和图3-2的办法突发奇想，画出了图3-4和图3-5，然后证明了四边形EFCE′是平行四边形，进而证得结论。在探究出这些解法之后，我们归纳成两大类方法，一类是利用构造的等腰直角三角形寻求突破口，一类是利用轴对称性进行转化。两类方法的共性是构造全等，直接或间接证明线段AE和EF相等，体现的都是位置与数量、线段与角之间的关系转化思想的应用。
4 四点共圆见神奇
九年级学习圆时，此题第四次展现：解决点E是BC边上的任意一点时证明AE=EF的问题。如图4-1所示，学生很快用四点共圆找到了解决的办法，并总结出这个办法最大的优点是：用同弧所对的圆周角相等可轻松证明△AEF是等腰直角三角形，免去了证明三角形全等的繁琐。
5 运用相似证全等
九年级学习相似三角形时，此题第五次展现：在经历了一番小组合作之后，谜底揭开——可以运用三角形相似证明三角形全等。如图5-1，具体步骤是：先证明△ABE与△EHF相似，再设AB=a，BE=b，CH=x，列出比例式，解得x=b，则EH=a，进而得到相似比为1，结论得证。
6 一题多变思维提升
一轮复习时，此题第六次呈现，主要进行了以下三种变式和一次拓展。
一是改变位置关系，如图6-1所示，把点E在线段BC上变成点E在线段BC的延长线上，或者把点E在线段BC上变成点E在线段BC的反向延长线上，猜想AE=EF的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
二是将条件∠AEF=90°与结论AE=EF互换，探究命题是否仍然成立。在一轮复习环节进行这样的问题设置，主要目的是培养孩子们探究几何图形位置变化过程中数量关系的不变性的能力，学会以不变应万变。
三是改变数量关系，把正方形ABCD变成等边三角形ABC，把∠AEF=90°变成∠AEF=60°，即：
【探究发现】如图6-2，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F。当点E是BC的中点时，有AE=EF成立。
【數学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立。
假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图6-3中画出图形，并进行证明。
【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图6-4中画出图形，并运用上述结论求出
S△ABC：S△AEF的值。
数学家哈尔默斯说：问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂[2-3]。习题教学在数学课堂教学中占据半壁江山，小角色、大舞台，小题目、大作为，教师要研究题目、研究学生，在一题多变、多题归一方面出高招、奇招、妙招，放慢教学的脚步、放大探究的空间，让小题目闪烁出大光芒。
【参考文献】
[1]王红梅.初中数学的习题课教学[J].软件：电子版，2014（10）.
[2]刘金锋.浅谈初中数学习题课的教学策略[J].读与写（教育教学刊），2017（07）.
[3]朱荣武.小习题大思想——例谈习题中的数学思想渗透教学[J].小学数学教师，2015（4）.
【关键词】数学思维；解决方法；数学思想
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）10-0172-02
1 课本习题初探究
在教育部2013年审定的人教版八年级下册教材第十八章复习题中的第14题[1]，如一壶琼浆玉液，芳香醇厚，值得用一年的时间慢慢品尝。原题如下。
如图1-1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=900，且EF交正方形ABCD外角的平分线CF于点F。求证：AE=EF。（提示：取AB的中点G，连接EG。）
此题综合考查了正方形、等腰直角三角形、直角三角形、全等三角形、角平分线等知识，难点是构造等腰直角三角形，为证明三角形全等提供条件。
2 函数思想再解题
在学习一次函数时，笔者建议学生尝试用函数的知识去解决这道题。
提示如下：如图2-1所示，建立坐标系，求点F的坐标；为便于计算和降低难度，可假设AB边长度为2。一部分学生运用全等三角形的知识，在EF上求得一点M（其实这个点就是点F）的坐标是（3，1），从而求得直线EF的解析式，与CF的解析式联立方程组，求出点F的坐标，进而利用勾股定理得出结论；另一部分学生运用“两直线y=k1x+b1与y=k2x+b2互相垂直时，k1k2=-1”的知识解决。此解巧妙地运用函数模型求得交点坐标，避免了构造等腰直角三角形和全等三角形的繁琐。为了证明的严谨性，可将AB边长设为2a，再进行推理计算。
此解法的出现，就像一阵清风吹过湖面，泛起层层涟漪，让学生打开了用代数方法解决几何问题的一
扇窗。
3 思维迁移巧解题
在八年级下学期总复习时，笔者将此题的条件稍作改动，第三次呈现。
如图3-1，四边形ABCD是正方形，点E在BC边上，∠AEF=90°，射线EF交正方形ABCD外角的平分线CF于点F。求证：AE=EF。
学生很容易产生思维迁移，把点E为中点时构造等腰三角形的办法迁移至点E为BC边上任意一点，从而构造出全等三角形证得结论，如图3-2所示。
有的学生尝试利用对称性构造三角形全等，然后证得等腰三角形，如图3-3所示。有的学生由图3-3和图3-2的办法突发奇想，画出了图3-4和图3-5，然后证明了四边形EFCE′是平行四边形，进而证得结论。在探究出这些解法之后，我们归纳成两大类方法，一类是利用构造的等腰直角三角形寻求突破口，一类是利用轴对称性进行转化。两类方法的共性是构造全等，直接或间接证明线段AE和EF相等，体现的都是位置与数量、线段与角之间的关系转化思想的应用。
4 四点共圆见神奇
九年级学习圆时，此题第四次展现：解决点E是BC边上的任意一点时证明AE=EF的问题。如图4-1所示，学生很快用四点共圆找到了解决的办法，并总结出这个办法最大的优点是：用同弧所对的圆周角相等可轻松证明△AEF是等腰直角三角形，免去了证明三角形全等的繁琐。
5 运用相似证全等
九年级学习相似三角形时，此题第五次展现：在经历了一番小组合作之后，谜底揭开——可以运用三角形相似证明三角形全等。如图5-1，具体步骤是：先证明△ABE与△EHF相似，再设AB=a，BE=b，CH=x，列出比例式，解得x=b，则EH=a，进而得到相似比为1，结论得证。
6 一题多变思维提升
一轮复习时，此题第六次呈现，主要进行了以下三种变式和一次拓展。
一是改变位置关系，如图6-1所示，把点E在线段BC上变成点E在线段BC的延长线上，或者把点E在线段BC上变成点E在线段BC的反向延长线上，猜想AE=EF的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
二是将条件∠AEF=90°与结论AE=EF互换，探究命题是否仍然成立。在一轮复习环节进行这样的问题设置，主要目的是培养孩子们探究几何图形位置变化过程中数量关系的不变性的能力，学会以不变应万变。
三是改变数量关系，把正方形ABCD变成等边三角形ABC，把∠AEF=90°变成∠AEF=60°，即：
【探究发现】如图6-2，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F。当点E是BC的中点时，有AE=EF成立。
【數学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立。
假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图6-3中画出图形，并进行证明。
【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图6-4中画出图形，并运用上述结论求出
S△ABC：S△AEF的值。
数学家哈尔默斯说：问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂[2-3]。习题教学在数学课堂教学中占据半壁江山，小角色、大舞台，小题目、大作为，教师要研究题目、研究学生，在一题多变、多题归一方面出高招、奇招、妙招，放慢教学的脚步、放大探究的空间，让小题目闪烁出大光芒。
【参考文献】
[1]王红梅.初中数学的习题课教学[J].软件：电子版，2014（10）.
[2]刘金锋.浅谈初中数学习题课的教学策略[J].读与写（教育教学刊），2017（07）.
[3]朱荣武.小习题大思想——例谈习题中的数学思想渗透教学[J].小学数学教师，2015（4）.