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[摘要] 极限理论是微积分的基础。无论预先给定的正数是怎样的数,总有大于它的自然数存在。
[关键词] 极限 微积分 数列
数学的意义不在于计算。许多人总认为计算快、准的人就是数学家,其实这是对数学的误解,这样的人充其量只能算作会计师,与数学家风马牛不相及。数学的意义在于对自然界的探索。微积分的发现与应用是数学上的一场革命。这场革命的起源应追溯到公元前200年古希腊文明时期,著名数学家阿基米德公理开始。阿基米徳说:无论预先给定的正数是怎样的数,总有大于它的自然数存在。就是这句看似简单的话,给后来的数学革命——微积分的诞生奠定了基础。
极限理论是微积分的基础。没有极限理论的完成,就不会有微积分的出现。极限理论又是建立在实数理论上。在理工科大学,极限论是大学生碰到的第一道难关。学好极限理论的关键就是深刻理解、掌握“ε-δ”“ε-N”语言。它们主要是用数学逻辑语言来表达极限中“无限逼近”的程度。数列极限逻辑语言“ε-N”语言中四句逻辑语言:"ε>0 $N>0 "n>N |xn-a|<ε充分表达了“无限逼近”的意思。首先我们要弄懂“任给一个正数ε”的含义,一个任给充分说明了正数ε无限小的程度,要多小就有多小,你想它有多小就会有多小。在这个基础上,我们再来看|xn-a|的含义,|xn-a|就是xn与a的距离,正代表了它们接近的程度。这里要注意,许多同学会理解为某一项xn与a接近的程度,那就理解错了,所以我们要和“ε-N”语言的中间两句“$N>0 "n>N”联系起来解读就很清楚,总存在那么一个时刻,在那个时刻以后,数列{xn}的所有项与a接近的程度。因为正数ε是任意的,这点正刻画了在那个时刻以后出现的项数是无限项,而那个时刻以前只是有限项。有了这个极限的严格定义“ε-N”语言,我们就可以给出数列极限的性质、定理。
函数极限与数列极限的并列概念就是函数极限的严格定义“ε-M”语言,和数列极限一样,函数极限逻辑语言“ε-M”语言也是四句逻辑语言组成:“ε>0 $M(M为一切大于0的正实数)”|x|>M |f(x)-A|<ε。它精确地描述了当自变量x在x轴上向右(正方向)或者向左(负方向)无限伸展时,函数曲线向一条水平直线无限接近的过程。函数与数列的区别在于:数列是建立在一维空间数轴上的一列无穷点列,而函数则是建立在二维空间平面直角坐标系内的一条曲线,它的定义域是建立在一维空间x轴上实数连续统内的实数。所以,函数的极限不完全是自变量x趋于无穷时的极限,它还有自变量x趋于某点x0时的极限,这时极限的严格定义就是逻辑语言“ε-δ”语言,它也是由四句逻辑语言组成:“ε>0 $δ>0 ” 0<|x-x0|<δ |f(x)-A|<ε。它精确描述了当自变量x趋于某点x0时,函数曲线接近平面空间对应于x0这点的点,函数在这点x0上可以没有定义。
通过极限的严格定义
我们可以得到许多有用的性质、定理
1.收敛数列的唯一性:在一个无穷数列中只有两种可能,要么收敛于同一个极限,要么发散。不可能同时存在两个不同的极限,由极限的严格定义可以得到如果存在两个,这两个极限一定相同。
2.收敛数列的有界性:一个数列如果有极限那么它一定有界。反之不然,即有界数列不一定收敛。因为有界数列可能有不同的收敛子列,所以它不收敛,否则,就违背了数列极限的唯一性。但是,对于有界数列我们只要加强它的条件,加添单调这个条件,他就一定收敛。
3.迫敛性:如果在某个变化过程中,某个数列始终夹在两个数列中间,而这两个数列变化趋势又是一致,即极限相同,则那个夹在它们中间的数列也一定有极限且极限相同。
4.单调有界数列收敛性:就是“2”中的逆命题,既然有界那这个数列一定存在上下确界,它又是单调,要么单调增加,要么单调减少。如果单调增加又有上界,那么上确界就是它变化趋势的终结,它的极限就是上确界;同理,如果它是单调减少有下界的数列,那么下确界就是它变化趋势的终结,它的极限就是下确界。(迫敛性、单调有界数列收敛性又称为极限的两个存在准则。)
除此,我们还要记住一些重要极限的结果,例如:当自变量趋于零时,正弦函数与自变量的比趋于1以及e极限等等。利用这些结果解决更复杂更难的极限题。值得一提的是柯西(Cauchy)收敛准则是数列收敛的等价命题,是判断数列敛散性的重要理论依据。关键在于柯西(Cauchy)收敛准则判断数列敛散不需要其他附加条件,通过数列自身特征出发就可以得出命题。所以,柯西(Cauchy)收敛准则被称为数学分析中头等重要定理。
许多同学在做数学题时,拿到题目就抓瞎,无从下手。关键在于他对数学的定义、性质、定理不甚了了,只知皮毛不知全部,不能将这些定义、性质、定理融会贯通。做数学题的关键在于对所学内容的定义、性质、定义一定要很熟悉,这点没有捷径可走,只有多做相关基础练习,最后达到触类旁通,心手相应。这不是一天两天可以完成,必须经过大量的艰苦训练,才能达到做题的境界。第二点,就是对题目条件的理解非常重要。许多同学急于解题,只看结论不看条件,往往张冠李戴,甚至抓耳挠腮,无从下笔。他们不知道一些难题,在条件和结论上有绝妙的结合,精伦天成,不可忽视。我们也可以在条件与结论的关系上找到解题的方法。这是一门艺术,有时需要天赋。
作者单位:中共江苏省委党校基础部 江苏南京
[关键词] 极限 微积分 数列
数学的意义不在于计算。许多人总认为计算快、准的人就是数学家,其实这是对数学的误解,这样的人充其量只能算作会计师,与数学家风马牛不相及。数学的意义在于对自然界的探索。微积分的发现与应用是数学上的一场革命。这场革命的起源应追溯到公元前200年古希腊文明时期,著名数学家阿基米德公理开始。阿基米徳说:无论预先给定的正数是怎样的数,总有大于它的自然数存在。就是这句看似简单的话,给后来的数学革命——微积分的诞生奠定了基础。
极限理论是微积分的基础。没有极限理论的完成,就不会有微积分的出现。极限理论又是建立在实数理论上。在理工科大学,极限论是大学生碰到的第一道难关。学好极限理论的关键就是深刻理解、掌握“ε-δ”“ε-N”语言。它们主要是用数学逻辑语言来表达极限中“无限逼近”的程度。数列极限逻辑语言“ε-N”语言中四句逻辑语言:"ε>0 $N>0 "n>N |xn-a|<ε充分表达了“无限逼近”的意思。首先我们要弄懂“任给一个正数ε”的含义,一个任给充分说明了正数ε无限小的程度,要多小就有多小,你想它有多小就会有多小。在这个基础上,我们再来看|xn-a|的含义,|xn-a|就是xn与a的距离,正代表了它们接近的程度。这里要注意,许多同学会理解为某一项xn与a接近的程度,那就理解错了,所以我们要和“ε-N”语言的中间两句“$N>0 "n>N”联系起来解读就很清楚,总存在那么一个时刻,在那个时刻以后,数列{xn}的所有项与a接近的程度。因为正数ε是任意的,这点正刻画了在那个时刻以后出现的项数是无限项,而那个时刻以前只是有限项。有了这个极限的严格定义“ε-N”语言,我们就可以给出数列极限的性质、定理。
函数极限与数列极限的并列概念就是函数极限的严格定义“ε-M”语言,和数列极限一样,函数极限逻辑语言“ε-M”语言也是四句逻辑语言组成:“ε>0 $M(M为一切大于0的正实数)”|x|>M |f(x)-A|<ε。它精确地描述了当自变量x在x轴上向右(正方向)或者向左(负方向)无限伸展时,函数曲线向一条水平直线无限接近的过程。函数与数列的区别在于:数列是建立在一维空间数轴上的一列无穷点列,而函数则是建立在二维空间平面直角坐标系内的一条曲线,它的定义域是建立在一维空间x轴上实数连续统内的实数。所以,函数的极限不完全是自变量x趋于无穷时的极限,它还有自变量x趋于某点x0时的极限,这时极限的严格定义就是逻辑语言“ε-δ”语言,它也是由四句逻辑语言组成:“ε>0 $δ>0 ” 0<|x-x0|<δ |f(x)-A|<ε。它精确描述了当自变量x趋于某点x0时,函数曲线接近平面空间对应于x0这点的点,函数在这点x0上可以没有定义。
通过极限的严格定义
我们可以得到许多有用的性质、定理
1.收敛数列的唯一性:在一个无穷数列中只有两种可能,要么收敛于同一个极限,要么发散。不可能同时存在两个不同的极限,由极限的严格定义可以得到如果存在两个,这两个极限一定相同。
2.收敛数列的有界性:一个数列如果有极限那么它一定有界。反之不然,即有界数列不一定收敛。因为有界数列可能有不同的收敛子列,所以它不收敛,否则,就违背了数列极限的唯一性。但是,对于有界数列我们只要加强它的条件,加添单调这个条件,他就一定收敛。
3.迫敛性:如果在某个变化过程中,某个数列始终夹在两个数列中间,而这两个数列变化趋势又是一致,即极限相同,则那个夹在它们中间的数列也一定有极限且极限相同。
4.单调有界数列收敛性:就是“2”中的逆命题,既然有界那这个数列一定存在上下确界,它又是单调,要么单调增加,要么单调减少。如果单调增加又有上界,那么上确界就是它变化趋势的终结,它的极限就是上确界;同理,如果它是单调减少有下界的数列,那么下确界就是它变化趋势的终结,它的极限就是下确界。(迫敛性、单调有界数列收敛性又称为极限的两个存在准则。)
除此,我们还要记住一些重要极限的结果,例如:当自变量趋于零时,正弦函数与自变量的比趋于1以及e极限等等。利用这些结果解决更复杂更难的极限题。值得一提的是柯西(Cauchy)收敛准则是数列收敛的等价命题,是判断数列敛散性的重要理论依据。关键在于柯西(Cauchy)收敛准则判断数列敛散不需要其他附加条件,通过数列自身特征出发就可以得出命题。所以,柯西(Cauchy)收敛准则被称为数学分析中头等重要定理。
许多同学在做数学题时,拿到题目就抓瞎,无从下手。关键在于他对数学的定义、性质、定理不甚了了,只知皮毛不知全部,不能将这些定义、性质、定理融会贯通。做数学题的关键在于对所学内容的定义、性质、定义一定要很熟悉,这点没有捷径可走,只有多做相关基础练习,最后达到触类旁通,心手相应。这不是一天两天可以完成,必须经过大量的艰苦训练,才能达到做题的境界。第二点,就是对题目条件的理解非常重要。许多同学急于解题,只看结论不看条件,往往张冠李戴,甚至抓耳挠腮,无从下笔。他们不知道一些难题,在条件和结论上有绝妙的结合,精伦天成,不可忽视。我们也可以在条件与结论的关系上找到解题的方法。这是一门艺术,有时需要天赋。
作者单位:中共江苏省委党校基础部 江苏南京