摘 要:本文就高职高专教材中利用等价无穷小代换求极限的方法的不足做了系统的补充和说明,并给出了相应代换的条件和实例。
　　关键词:等价无穷小代换
　　中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)08(b)-0093-02
　　
　　微积分是数学中的一个重要的分枝。就整个数学体系来说,基础数学部分是根,各种名目繁多的数学种类是枝叶,而微积分就是这棵大树的主干部分。微积分由微分、积分两部分组成,微分是无限细分的思想,积分是无限累积的思想,而极限就体现了无限的思想。极限是微积分的思想基础,所以是微积分的重要部分。求极限就成为了学习微积分重要的学习过程。在求极限的各种方法中,用等价无穷小量的代换来求一些复杂的极限是一种重要的方法。用无穷小量代换来求极限的方法在许多高职高专教材中介绍的都不全面,学生在学习的过程中总有许多的疑惑,本人从事多年的高等数学教学工作,所以把多年在这一方面的经验做一总结。对教材中的不足做一些补充,同时也可给学生的学习提供一个参考。
　　无穷小量是指在变化过程中极限为0的变量,而等价无穷小量是指在变化过程中比值极限为1的两个无穷小量,常用的等价无穷小量有:当时,,,,
　　恰当利用等价无穷小代换求极限,可大大简化计算。那么无穷小量代换都可以怎样应用呢？在高职高专教材中,有些只提到等价无穷小量在求极限的过程中可以代换,却没有说明什么情况可以应用,什么情况不可以应用。或者有的教材就说明只有在积商因子中可以应用,这都是不全面和严密的。下面就各种情况意义说明。
　　
　　1 极限式中只有积商因子的等价无穷小之间可以代换
　　定理1:设是同一变化过程中的无穷小量,且,,若存在,则有
　　证明:
　　例如:求
　　解:当时,
　　
　　推论1:设是同一变化过程中的无穷小量,且,若存在,则有
　　例如:求
　　解:当时,
　　
　　推论2:设是同一变化过程中的无穷小量,且,若存在,则有,
　　例如:
　　
　　2 当极限式中不只含有积商因子还含有加减因子时不可以直接代换,但可以这样运用等价无穷小进行代换
　　定理2:设是同一变化过程中的无穷小量,且则
　　
　　∴
　　例如:求
　　解:
　　
　　
　　定理3:设是同一变化过程中的无穷小量,且若
　　则
　　
　　∴
　　例如:求
　　解:当时,
　　
　　
　　
　　
　　3 学生运用等价无穷小代换时的典型错误
　　例如:
　　代换时没有注意到定理3中要求的,本题中因为,所以不能直接应用定理3,应把加减因子化成积商因子代换。
　　改为
　　
　　或改为:
　　
　　
　　
　　4 等價无穷小代换可求出L’Hospital法则失效的不定式极限
　　例:求极限
　　解:原式==
　　注:本例用等价无穷小,因为分子求导后表达式将变得非常复杂,从而不可用洛必达法则求解。对于型及型不定式极限,L’Hospital法则失效一般有两种情形,一是它不满足L’Hospital法则的条件；二是它满足条件但使用L’Hospital法则并不能使问题简化,从而导致该法则失效。
　　
　　5 对于复合函数的极限,若其外函数连续,内函数为无穷小或无穷大,则其内函数也可等价量代换。这是由连续函数的定义决定的
　　例:求极限
　　解:原式==
　　
　　6 0°型型及型这三类幂指型未定式极限,在底数中及在指数上的无穷小量或无穷大量均可应用等价量代换求解
　　例:求极限
　　解:当时,
　　所以原式
　　
　　7 当出现的形式的极限时,其中和是无穷小量,可以用洛必达法则求解,但有时运算相当复杂,而如果结合麦克劳林公式,写出的带有的等价无穷小量,然后再用它来进行等价无穷小代换就是一种很好的方法
　　例如:求
　　解:由麦克劳林公式得:
　　
　　所以
　　例如:求
　　解:因为当时,分母,由麦克劳林公式得:
　　所以
　　
　　以上是无穷小量代换求极限方法的总结,这些总结可以对高职高专数学教材中关于无穷小量代换部分的不足进行补充,帮助学生解开这部分的迷惑。
　　
　　参考文献
　　[1] 华东师范大学数学系.数学分析(上)[M].北京:高等教育出版社(第二版).
　　[2] 同济大学高等数学教研室.高等数学(上)[M].北京:高等教育出版社(第四版).
　　[3] 新编经济应用数学(微分学、积分学)[M].大连理工大学出版社(第五版).