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真题呈现
例1（2020·湖南·湘西·第25题）问题背景：如图1，在四边形[ABCD]中，[∠BAD=90°]，[∠BCD=90°]，[BA=BC]，[∠ABC=120°]，[∠MBN=60°]，[∠MBN]绕B点旋转，它的两边分别交[AD]，[DC]于E，F. 探究图中线段[AE]，[CF]，[EF]之间的数量关系. 小李同学探究此问题的方法是：延长[FC]到G，使[CG=AE]，连接[BG]，先证明[△BCG≌△BAE]，再证明[△BFG≌△BFE]，可得出结论，他的结论就是 ;
探究延伸1：如图2，在四边形[ABCD]中，[∠BAD=90°]，[∠BCD=90°]，[BA=BC]，[∠ABC=2∠MBN]，[∠MBN]绕B点旋转，它的两边分别交[AD]，[DC]于E，F. 上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不需说明理由.
探究延伸2：如图3，在四边形[ABCD]中，[BA=BC]，[∠BAD+∠BCD=180°]，[∠ABC=2∠MBN]，[∠MBN]绕B点旋转，它的两边分别交[AD]，[DC]于E，F. 上述结论是否仍然成立？请说明理由.
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西[30°]的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东[70°]的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等. 接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东[50°]的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为[70°]，试求此时两舰艇之间的距离.
追根溯源
原型1（北师大版八年级上册第6页“随堂练习”第2题）如图5，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形. 求∠BAC的度数.
本题考查等边三角形的性质、等腰三角形、三角形内角和等知识. 易求得∠BAC = 120°，即∠BAC = 2∠DAE.
原型2（北师大版八年级上册第168页“数学理解”第20题）如图6，四边形ABCD是正方形，点E在AB上，点F在AD的延长线上，BE = DF，在此图中是否存在两个全等三角形？其中一个三角形能够通过旋转另一个三角形而得到吗？
本题考查旋转、正方形的性质、全等三角形的判定等知识. 易知△CDF ≌ △CBE，其中一个三角形能够通过旋转另一个三角形而得到. 如果过点F作FM⊥BC的延长线于点M，又易知△CEF是等腰直角三角形，因此有∠BCM = 2∠ECF.
以上两个原型就是例1的“根”，将它们向动态问题变式，即可演变出类似问题.
破解策略
解决例1需要熟知如图7所示的基本图形：如果AB = BC，∠A与∠BCF互補，∠ABC = 2∠EBF，则可将△ABE旋转至△BCG的位置，进而有结论EF = AE + CF.
问题背景是一个特殊情况，由小李同学探究此问题的方法，延长[FC]到G，使[CG=AE]. 连接[BG]，先证明[△BCG≌△BAE]，可得BG = BE，∠CBG = ∠ABE，再证明[△BFG≌△BFE]，可得GF = EF，顺利得到结论EF = AE + CF. 在这里，阅读理解小李同学的探究方法很重要，它是解决下面两个探究问题的基础.
探究延伸1将问题背景中的条件[∠ABC=120°]和[∠MBN=60°]一般化为[∠ABC=2∠MBN]，用好这个条件是解题的关键. 将问题背景中通过计算得到∠EBF = ∠GBF = 60°，改为在图8中通过推理证明得到∠EBF = ∠GBF即可，其余步骤完全相同.
探究延伸2将探究延伸1中的条件[∠BAD=90°]，[∠BCD=90°]一般化为[∠BAD+∠BCD=180°]，只要由直角的邻补角为直角推得两个角相等，改为由[∠BAD+∠BCD=180°]推得∠BCF的邻补角与∠A相等即可，其余步骤完全相同.
延长[FC]到G，使[CG=AE]，连接[BG]，如图9.
∵[∠A+∠BCD=180°]，∠BCG + ∠BCD = 180°，∴∠BCG = ∠A.
∵BC = BA，∠BCG = ∠A，CG = AE，
∴[△BCG≌△BAE]（SAS），
∴BG = BE，∠CBG = ∠ABE.
∵∠ABC = 2∠MBN，∴∠ABE + ∠CBF = [12]∠ABC，
∴∠CBG + ∠CBF = [12]∠ABC，即∠GBF = [12]∠ABC，
∴∠GBF = ∠EBF.
∵BG = BE，∠GBF = ∠EBF，BF = BF，
∴△BGF ≌ △BEF（SAS），∴GF = EF，
∴EF = GC + CF = AE + CF.
实际应用中没有如图7所示的模型，但连接EF，延长AE，BF相交于点C，求得∠AOB = 140°，∠EOF = 70°，可发现模型，则EF = AE + BF，将AE和BF的长代入即可.
如图10，连接EF，延长AE，BF相交于点C，
∵∠AOB = 30° + 90° + （90° - 70°） = 140°，∠EOF = 70°，
∴∠EOF = [12]∠AOB.
∵OA = OB，∠OAC + ∠OBC = （90° - 30°） + （70° + 50°） = 180°，
符合探究延伸中的条件，∴结论EF = AE + BF仍然成立， ∴EF = 75 × 1.2 + 100 × 1.2 = 210（海里）. 此时两舰艇间距离为210海里.
原题延伸
变式1 例1是将有特殊关系的角绕公共顶点旋转来研究的，现在研究有公共端点的线段旋转问题.
例2 如图11，在Rt△ABC中，AB = AC，D为BC边上一点（不与B，C重合），将线段AD绕A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 ，证明你的结论.
解析：BC = DC + EC.
理由：∵∠BAC = ∠DAE = 90°，∴∠BAD = ∠CAE.
∵AB = AC，AD = AE，∴△BAD ≌ △CAE（SAS），
∴BD = CE，∴BC = BD + DC = DC + EC. 故应填BC = DC + EC.
变式2 将变式1中研究线段的旋转改变为研究等腰三角形的旋转.
例3 如图12，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB = AC，AD = AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论.
解析：BD2 + CD2 = 2AD2.
理由：連接CE，由变式1得△BAD ≌ △CAE，
∴BD = CE，∠B = ∠ACE，
∴∠DCE = ∠ACE + ∠ACB = ∠B + ∠ACB = 90°，∴CE2 + CD2 = ED2.
在Rt△ADE中，AD2 + AE2 = ED2. 又∵AD = AE，∴BD2 + CD2 = 2AD2.
变式3 研究构造旋转等腰三角形来解决数学问题.
例4 如图13，在四边形ABCD中，∠ABC = ∠ACB = ∠ADC = 45°. 若BD = 9，CD = 3，求AD.
解析：如图14，作AE[⊥]AD，使AE = AD，连接CE，DE.
∵∠BAC = ∠DAE = 90°，∴∠BAD = ∠CAE.
∵AB = AC，AD = AE，∴△BAD ≌ △CAE（SAS），∴BD = CE = 9.
∵∠ADC = ∠EDA = 45°，∴∠CDE = 90°，
∴DE = [CE2-CD2] = 6[2].
∵∠DAE = 90°，∴AD = AE = 6.
（作者单位：江苏省泰州市姜堰区城西实验学校）
例1（2020·湖南·湘西·第25题）问题背景：如图1，在四边形[ABCD]中，[∠BAD=90°]，[∠BCD=90°]，[BA=BC]，[∠ABC=120°]，[∠MBN=60°]，[∠MBN]绕B点旋转，它的两边分别交[AD]，[DC]于E，F. 探究图中线段[AE]，[CF]，[EF]之间的数量关系. 小李同学探究此问题的方法是：延长[FC]到G，使[CG=AE]，连接[BG]，先证明[△BCG≌△BAE]，再证明[△BFG≌△BFE]，可得出结论，他的结论就是 ;
探究延伸1：如图2，在四边形[ABCD]中，[∠BAD=90°]，[∠BCD=90°]，[BA=BC]，[∠ABC=2∠MBN]，[∠MBN]绕B点旋转，它的两边分别交[AD]，[DC]于E，F. 上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不需说明理由.
探究延伸2：如图3，在四边形[ABCD]中，[BA=BC]，[∠BAD+∠BCD=180°]，[∠ABC=2∠MBN]，[∠MBN]绕B点旋转，它的两边分别交[AD]，[DC]于E，F. 上述结论是否仍然成立？请说明理由.
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西[30°]的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东[70°]的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等. 接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东[50°]的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为[70°]，试求此时两舰艇之间的距离.
追根溯源
原型1（北师大版八年级上册第6页“随堂练习”第2题）如图5，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形. 求∠BAC的度数.
本题考查等边三角形的性质、等腰三角形、三角形内角和等知识. 易求得∠BAC = 120°，即∠BAC = 2∠DAE.
原型2（北师大版八年级上册第168页“数学理解”第20题）如图6，四边形ABCD是正方形，点E在AB上，点F在AD的延长线上，BE = DF，在此图中是否存在两个全等三角形？其中一个三角形能够通过旋转另一个三角形而得到吗？
本题考查旋转、正方形的性质、全等三角形的判定等知识. 易知△CDF ≌ △CBE，其中一个三角形能够通过旋转另一个三角形而得到. 如果过点F作FM⊥BC的延长线于点M，又易知△CEF是等腰直角三角形，因此有∠BCM = 2∠ECF.
以上两个原型就是例1的“根”，将它们向动态问题变式，即可演变出类似问题.
破解策略
解决例1需要熟知如图7所示的基本图形：如果AB = BC，∠A与∠BCF互補，∠ABC = 2∠EBF，则可将△ABE旋转至△BCG的位置，进而有结论EF = AE + CF.
问题背景是一个特殊情况，由小李同学探究此问题的方法，延长[FC]到G，使[CG=AE]. 连接[BG]，先证明[△BCG≌△BAE]，可得BG = BE，∠CBG = ∠ABE，再证明[△BFG≌△BFE]，可得GF = EF，顺利得到结论EF = AE + CF. 在这里，阅读理解小李同学的探究方法很重要，它是解决下面两个探究问题的基础.
探究延伸1将问题背景中的条件[∠ABC=120°]和[∠MBN=60°]一般化为[∠ABC=2∠MBN]，用好这个条件是解题的关键. 将问题背景中通过计算得到∠EBF = ∠GBF = 60°，改为在图8中通过推理证明得到∠EBF = ∠GBF即可，其余步骤完全相同.
探究延伸2将探究延伸1中的条件[∠BAD=90°]，[∠BCD=90°]一般化为[∠BAD+∠BCD=180°]，只要由直角的邻补角为直角推得两个角相等，改为由[∠BAD+∠BCD=180°]推得∠BCF的邻补角与∠A相等即可，其余步骤完全相同.
延长[FC]到G，使[CG=AE]，连接[BG]，如图9.
∵[∠A+∠BCD=180°]，∠BCG + ∠BCD = 180°，∴∠BCG = ∠A.
∵BC = BA，∠BCG = ∠A，CG = AE，
∴[△BCG≌△BAE]（SAS），
∴BG = BE，∠CBG = ∠ABE.
∵∠ABC = 2∠MBN，∴∠ABE + ∠CBF = [12]∠ABC，
∴∠CBG + ∠CBF = [12]∠ABC，即∠GBF = [12]∠ABC，
∴∠GBF = ∠EBF.
∵BG = BE，∠GBF = ∠EBF，BF = BF，
∴△BGF ≌ △BEF（SAS），∴GF = EF，
∴EF = GC + CF = AE + CF.
实际应用中没有如图7所示的模型，但连接EF，延长AE，BF相交于点C，求得∠AOB = 140°，∠EOF = 70°，可发现模型，则EF = AE + BF，将AE和BF的长代入即可.
如图10，连接EF，延长AE，BF相交于点C，
∵∠AOB = 30° + 90° + （90° - 70°） = 140°，∠EOF = 70°，
∴∠EOF = [12]∠AOB.
∵OA = OB，∠OAC + ∠OBC = （90° - 30°） + （70° + 50°） = 180°，
符合探究延伸中的条件，∴结论EF = AE + BF仍然成立， ∴EF = 75 × 1.2 + 100 × 1.2 = 210（海里）. 此时两舰艇间距离为210海里.
原题延伸
变式1 例1是将有特殊关系的角绕公共顶点旋转来研究的，现在研究有公共端点的线段旋转问题.
例2 如图11，在Rt△ABC中，AB = AC，D为BC边上一点（不与B，C重合），将线段AD绕A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 ，证明你的结论.
解析：BC = DC + EC.
理由：∵∠BAC = ∠DAE = 90°，∴∠BAD = ∠CAE.
∵AB = AC，AD = AE，∴△BAD ≌ △CAE（SAS），
∴BD = CE，∴BC = BD + DC = DC + EC. 故应填BC = DC + EC.
变式2 将变式1中研究线段的旋转改变为研究等腰三角形的旋转.
例3 如图12，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB = AC，AD = AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论.
解析：BD2 + CD2 = 2AD2.
理由：連接CE，由变式1得△BAD ≌ △CAE，
∴BD = CE，∠B = ∠ACE，
∴∠DCE = ∠ACE + ∠ACB = ∠B + ∠ACB = 90°，∴CE2 + CD2 = ED2.
在Rt△ADE中，AD2 + AE2 = ED2. 又∵AD = AE，∴BD2 + CD2 = 2AD2.
变式3 研究构造旋转等腰三角形来解决数学问题.
例4 如图13，在四边形ABCD中，∠ABC = ∠ACB = ∠ADC = 45°. 若BD = 9，CD = 3，求AD.
解析：如图14，作AE[⊥]AD，使AE = AD，连接CE，DE.
∵∠BAC = ∠DAE = 90°，∴∠BAD = ∠CAE.
∵AB = AC，AD = AE，∴△BAD ≌ △CAE（SAS），∴BD = CE = 9.
∵∠ADC = ∠EDA = 45°，∴∠CDE = 90°，
∴DE = [CE2-CD2] = 6[2].
∵∠DAE = 90°，∴AD = AE = 6.
（作者单位：江苏省泰州市姜堰区城西实验学校）