类比实数运算掌握复数乘除

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  复数代数形式的四则运算与我们初中学习的实数四则运算可以进行类比,借助于初中多项式运算中的“合并同类项”“分母有理化”等方法进行化简变形,从而实现复数的四则运算.
  复数代数式形式相乘, 需要将实部与实部合并、虚部与虚部合并,这一点与多项式乘法相一致,唯一的差别是复数乘法必须将[i2]换成-1.显然,两个复数的积一定还是一个复数.同时,复数运算还满足乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律,而且规定复数的除法是乘法的逆运算.复数除法需要将分母进行“实数化”处理,将分母化为实数(这种作法与多项式除法中的分母“有理化”类似),分子的运算则与复数乘法运算相同.
  一、复数的乘法
  首先,我们复习一下多项式的乘法:[(a±b)2=a2±2ab+b2],[(a+2b)(a-2b)=a2-4b2],[(2a+3b)×(a-4b)=2a2-5ab-12b2].
  两个复数的乘法应该怎样进行呢?我们一起来看一道典型例题.
  例1 化简求值:[(1+i)(1+2i)(i-1)].
  好好思考一下,你能想出几种不同的解法?
  解法一 我们可以直接运用乘法法则进行计算,则原式=[(-1+3i)(-1+i)=-2-4i].
  解法二 利用运算律简化运算,即利用平方差公式进行简化运算,则原式[=(1+i)(-1+i)(1+2i)=][-2(1+2i)=-2-4i].
  解法三 利用[(1±i)2=±2i]或者[w=-12+32i,][w3=1,w2=w]简化运算,则原式[=(1+i)(1+2i)(1+i)i][=(1+i)2(1+2i)i][=2i(-2+i)=-2-4i].
  点评 (1)复数的乘法可以这样规定:设[z1=a+bi,z2=c+di][(a,b,c,d∈R)]是任意两个复数,那么[(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2]=[(ac-bd)+][(ad+bc)i];(2)两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把[i2]换成[-1],并且把实部与虚部分别合并即可;(3)平方差公式以及和差的完全平方公式需要特别记忆,它们对复数的化简运算非常有利.只要你肯动脑筋,一定会发现解决复数代数形式乘法运算的不同方法.
  
  二、复数的除法
  复数的除法运算又将如何进行呢?
  首先,我们看一下共轭复数的乘法运算:[(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R)],这样,很容易将复数实数化.复数的除法,如同多项式相除(分母实现有理化)一样,目标就是将复数的分母进行实数化. 当然,最后要将实部与虚部分开书写.
  例2 化简:[1-3i3+4i].
  解析 这里显然需要将分母进行实数化,即分子分母同乘以分母的共轭复数[3-4i],则[1-3i3+4i=][(1-3i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=3-12-9i-4i32+42=-925-1325i.]
  点评 根据上面的运算过程,我们很容易总结出复数的除法运算规则:
  [a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)=ac+bd+(bc-ad)ic2+d2]
  [=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i(a,b,c,d∈R,c+di≠0)].
  复数的除法和实数的除法类似,但解题过程中要注意[i2=-1],最后还要将实部与虚部分开写.
  例3 计算:[(21-i)2012].
  解析 这里首先需要对括号里的分式进行化简,然后再计算整体的结果. 可以利用[1±i2=±2i]简化运算,则[1(1-i)2=1-2i=12i];而[(12i)2=][-122],即[1(1-i)4=-122],所以原式=[21006[(1-i)4]503=21006(-22)503=-1].
  点评 记住下列规律:[i4n=1],[i4n+1=i],[i4n+2=-1],[i4n+3=-i]([n∈Z]).
  
   【练习】
  1. 计算:(1)[(3+2i)(-3+2i)];
  (2)[(1-i)2];
  (3)[i(2-i)(1-2i)] .
  2. 化简:(1)[1+i1-i];
  (2)[(1-i1+i)2011];
  (3)[(-1+i)(2+i)-i];
  (4)[5(4+i)2i(2+i)].
  3. 如果复数[-3+mi1-mi(m∈R)]的实部和虚部互为相反数,那么实数[m]的值为 .
  4. 已知[a+2ii=b+i(a,b∈R)],其中[i]为虚数单位,则[a+b=] .
  5. 已知[2i-3]是关于[x]的方程[2x2+px+q=0]的一个根,求实数[p,q]的值.
  
  【参考答案】
  1. (1)-5 (2)-2i (3)5
  2. (1)i (2)i (3)-1-3i (4)1-38i
  3. m=-1,-3
  4. 1
  5. p=12,q=26
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