作用在n维欧氏空间R<'n>上的离散交叉积

来源 :中国科学院数学与系统科学研究院 | 被引量 : 0次 | 上传用户:haojianhong
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本论文主要研究的是作用在n维欧氏空间Rn上的离散交叉积.   首先研究n=1的情形。设Gm,b是由R上的平移作用tb和膨胀作用dm所生成的群,其中m∈N\{1),b∈R+,群运算为一一映射的复合运算.令H=L2(R),A={Mf:f∈L∞(R)},α是群Gm,b在A上诱导的*-自同构表示,则由群测度构造离散的交叉积可知,得到交叉积A()αGm,b·首先证明对于作用在Hilbert空间H上的von Neumann代数M,αi是群Gi在M上的*-自同构表示,i=1,2.如果群G1同构于群G2,同构映射为θ且α1=α2oθ,则交叉积M()α1G1酉等价于交叉积M()α2G2.特别地,当群Hm,b是由B(L2(R))中的平移算子Tb和膨胀算子Dm所生成的酉群,β是群Hm,b在Hilbert空间L2(R)上的自然酉实现,则有交叉积A()αGm,b酉等价于交叉积A()βHm,b.其次对交叉积A()αGm,b进行因子分类,证明了交叉积A()αGm,b是超有限的III1/m型因子.而任何的IIIλ(0<λ<1)型内射因子都*-同构于Powers因子Rλ,所以得到交叉积A()αGm,b*-同构于Powers因子R1/m.最后讨论离散交叉积在小波分析中的应用.R.V.Kadison在1967年提出了这样一个问题:设M是II1型因子,τ是M上的迹态,则M的标准表示空间L2(M,τ)有由酉算子构成的正规正交基吗? 通过证明无理旋转von Neumann代数~Rθ∈()B(l2(Z×Z))酉等价于一个超有限的,II1型因子A()αZ来说明它的标准表示空间有由酉算子构成的正规正交基.   接下来研究高维的情形。设GA,b1,…,bn是由Rn上的平移作用tbi(i=1,…,n)和膨胀作用dA所生成的群,其中A是Mn(R)中的可逆矩阵,bi∈Rn,i=1,…,n,群运算是一一映射的复合运算。令Hn=L2(Rn),An={Mf:f∈L∞(Rn)},α是群GA,b1,…bn在An上诱导的*-自同构表示,则得到离散交叉积An()αGA,b1…,bn.首先证明了交叉积An()αGA,b1…,bn.是内射的.其次讨论交叉积An()αGA,b1…,bn.为因子的条件,这比一维的时候要复杂得多.本文循序渐进地证明了当矩阵A是对角阵,对角元素属于N{1}时,如果存在一一映射,γ:{1,2,…,n}→{1,2,…,n)使得矩阵B=(b(1),…,bγ(n))满足BA=AB,则群GA,b1,…,bn遍历地作用在Rn上.当矩阵A为n阶实对称阵且酉等价于对角阵mIn,m∈N\{1}时,群GA,b1,…,bn遍历地作用在Rn上当且仅当向量组{bk)mnk=1的秩为n.最后证明了当群GA,b1,…bn的子群G0A,b1,…,bn遍历地作用在Rn上时,交叉积An()αGA,b1,…,bn为III型因子当且仅当|det(A)|≠1.更进一步,当|det(A)|<1时,交叉积An()αGA,b1,…,bn是III|det(A)|型因子;当|det(A)|>1时,交叉积An()αGA,b1,…bn是III1/|det(A)|型因子。
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