本文研究了两类问题的数量刻画:一是研究某些不可约特征标维数与群结构的关系;二是研究交错单群A₂₁的ONC-刻画。一、不可约特征标维数对群结构的影响利用不可约特征标维数的算术性质来刻画有限群的结构是群表示论研究的经典课题。例,对任意χ∈Irr（G）,都有χ（1）|G|。然而,群论研究者感兴趣的是,这些算术性质反过来对群的结构究竟有怎样的影响?这一领域研究成果丰富。例如Ito-Michler指出:设G是有限群,若对任意χ∈Irr（G）,有pχ（1）,则G有交换的Sylow p-子群。又如1994年陈贵云教授证明了非交换单群可以由特征标表唯一决定。而本文中第一类问题继续研究单群的数量刻画,该问题与2000年Huppert提出的如下猜想相关:Huppert猜想设H是非交换的单群,G是一个群,满足cd（G）=cd（H）,则G～=H×A,其中A是一个交换群。Huppert猜想至今没有完全解决。Huppert猜想需要考虑群的所有不可约特征标维数,条件较强。2011年,陈贵云,徐海静在弱化了Huppert猜想的条件下首次提出用“群的阶和某些高维不可约特征标维数”来刻画单群,并且成功刻画了单K₃-群、散在单群及部分李型单群。我们继续了这一问题的研究,证明了单群L₂（43）,L₂（61）,L₂（67）,L₂（83）,L₂（101）,L₂（103）,L₂（113）,L₂（121）,L₂（125）,L₂（41）,L₂（59）,L₂（71）,L₂（79）,L₂（89）,L₂（109）,U₃（13）,U₃（16）,U₃（25）,U₃（32）,L₃（13）,U₃（17）,L₃（19）,U₆（2）,U₃（9）及U₃（23）能被其阶和一个高维不可约特征标维数唯一决定;单群O₅（4）,O₅（9）,L₃（27）,U₄（4）,A₁₁,G₂（5）,M^cL,L₃（31）及L₄（5）能被其阶和两个高维不可约特征标唯一决定;而单群L₂（64）,G₂（4）及L₃（9）能被其阶和至多三个高维不可约特征标维数唯一决定。二、交错群A₂₁的ONC-刻画施武杰教授提出著名的“两阶刻画”问题,即“用群的阶和元素的阶之集刻画有限单群”,使得有限群数量刻画成为群论中研究的热点。该问题已被数学家们成功解决。受此启发,陈贵云,何立官考虑了第一ONC-度量问题。设G为有限群,o₁（G）表示G中最高阶元素的阶,n₁（G）表示最高阶元的个数。若G中有r个最高阶元素,使得其中心化子的阶两两不同,并依次设这些中心化子的阶为c₁（G）,c₂（G）,···,c_r（G）,则称ON C（G）={o₁（G）;n₁（G）;c₁（G）,c₂（G）,···,c_r（G）}为G的第一ONC-度量。何立官在其博士论文中证明了许多有限非交换单群是能被第一ONC-度量刻画,并证明了秩不超过13的交错群可以被第一ONC-度量刻画。此后,汪忠碧继续了这一研究并得到A₁₄可以被第一ONC-度量刻画,而且附加了素图不连通性,进一步证明了交错单群A_n（15 n 20）能被第一ON C-度量刻画。本文继续了这一研究,证明了A₂₁能被第一ONC-度量刻画。