近年来,对不连续微分方程的研究已经有了长足的进步,因为它们在科学和工程技术各领域有着广泛的应用。但是,对不连续微分方程的研究还缺少有效的方法,其理论体系还远不够完备。随着计算机科学的发展,对不连续微分方程的研究主要是求其数值解,但其中也存在不少问题,特别是右端不连续的微分方程具有奇性,刚性很大,很难有效把握所研究对象的本质,所以开展对不连续微分方程的研究既可以进一步丰富和发展微分方程理论,又可以促进一些相关数学分支的发展。本文主要是运用奇摄动理论中的渐近方法,特别是空间对照结构理论,对这类右端不连续的微分方程构造一致有效的光滑渐近解,便于在实际问题中进行有效的分析。同时还对一类反应扩散方程稳态解进行了稳定性研究,其主要内容如下:第一章着重介绍了奇摄动理论和方法中的一些基本概念,并对不连续奇摄动边值问题进行了简单的回顾。第二章主要研究了一类分段光滑奇异摄动拟线性方程Robin边值问题。运用边界层函法和光滑缝接法构造了具有内部层解的形式渐近展开式,确定了解的内部层的位置,同时,用缝接法证明了这类边值问题光滑解的存在性和余项估计,最后给出了一个例子用来验证构造方法的有效性。第三章主要研究了一类分段光滑奇摄动半线性方程Dirichlet边值问题转移点的临界情形。不但利用边界层函数法构造了这类边值问题形式渐近解,而且用缝接法证明了具有内部层的解的存在性和给出了解的余项估计。特别地,确定了这类问题转移点位置的零次近似。第四章主要讨论了一类不连续反应扩散方程稳态解的稳定性。作者运用SturmLiouville特征值方法,构造特征值和特征函数的渐近展开式,并证明其次主特征值小于零,从而得到稳态解的稳定性。