限制分拆的算术性质和Catalan数的研究

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自18世纪数学家欧拉所处的时代以来,人们对整数分拆理论的研究一直热情不减。该理论作为一个自成一体的独立数学分支,被不断发现它在其他数学分支中的应用,而包括Ramanujan同余式在内的著名结果又让它充满了传奇色彩。Catalan数可能是数学中无处不在的数字序列,Catalan数在组合数学,数论,代数,分析,几何,拓扑等领域有很多应用。关于经典Catalan数的推广不胜枚举。本文的主要研究对象为两类限制分拆,即2-着色分拆三元组和k-着色分拆,以及一类(7)q,t(8)-Catalan数。对于这两类限制分拆函数,我们得到了许多Ramanujan类型的同余式。对于k-着色分拆数,我们另外得到一些不等式。此外,利用禁模式排列,我们给出这类(7)q,t(8)-Catalan数若干种新的组合解释及其对应的gamma分解。本文主要分为以下七个章节:第一章,绪论。主要介绍数学背景,以及整数分拆和Catalan数的相关进展。另外,我们简要的描述本文各章的主要内容。第二章,对于分拆函数p3,1(n),p3,3(n),和p3,9(n),我们分别得到了若干组无穷族模3幂次的同余式。另外,我们得到了两组关于p5,1(n)模5的同余式和三组关于p25,1(n)模5幂次的同余式。这里,kp,3(n)计数所有n的2-着色分拆三元组的个数,其中一种颜色只能出现在k倍数的分拆部分上。第三章,对于k-着色分拆函数p-k(n),我们利用初等方法得到了一些模25的无穷族同余式。进一步地,对于k(28)2,6,和7,我们证明了很多Ramanujan模5幂次类型的同余式。第四章,受到Bessenrodt和Ono关于普通分拆函数的一个不等式的启发,对所有的整数k?2,我们得到了关于k-着色分拆函数p-k(n)的一些不等式。第五章,对于k-着色分拆函数p-k(n),我们引入了一个广义奇异秩(k-奇异秩)。受到Andrews和Lewis以及Ji和Zhao工作的启发,我们得到了这种新定义的k-奇异秩的两个结果:我们首先对m(28)2,3,和4的情况得到了涉及Mk(7)r,m,n(8)的若干不等式;我们接下来对k(28)2和3的情况证明了偶数加权对称k-奇异秩矩的符号交错性。最后,我们提出了一个涉及Mk(7)m,n(8)的单峰性猜想。第六章,我们首先利用禁模式排列给出了一类(7)q,t(8)-Catalan数的若干新组合解释以及其对应的gamma分解。另一方面,对每个禁一个长度为3的模式的排列集合,我们得到了定义在上述集合上的(7)-1(8)-现象的一个完全刻画。利用这些新的gamma分解以及Shin和Zeng的一个五变元生成函数的连分式,我们进一步得到这些(7)-1(8)-现象对应的q-模拟。第七章,在本章我们主要对本文的工作进行一个梳理和总结,并且提出后续进一步研究的内容。
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