【摘 要】
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关于物理、生物和化学模型的周期轨和同异宿轨的存在性问题的研究,一直是奇异摄动领域所关注的重要课题之一.本文在前人工作的基础上,基于几何奇异摄动理论,结合相平面分析和
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关于物理、生物和化学模型的周期轨和同异宿轨的存在性问题的研究,一直是奇异摄动领域所关注的重要课题之一.本文在前人工作的基础上,基于几何奇异摄动理论,结合相平面分析和Melnikov方法等,研究含有两个慢非线性项的Gierer-Meinhardt(G-M)方程和具有耦合效应的Fitzhugh-Nagumo.(FHN)方程等奇异摄动系统的周期解、同宿解和异宿解的存在性.全文分为四章:第一章研究了含两个慢非线性项的G-M方程的脉冲解、单调和非单调波前解的存在性.实际上,上述问题等价于一类四维奇摄动常微分系统具有快慢动力学的同异宿轨道的存在性问题.基于几何奇异摄动理论,分别利用Melnikov函数和相平面分析法研究层系统和慢流形上退化系统的全局动力学,获得快慢轨道连接而形成具有一定横截性的奇异同异宿轨道的充分性判据,从而证明上述G-M方程的脉冲解、单调和非单调波前解的存在性.第二章为分析FHN方程的多个平衡状态的存在性及其类型,研究了一类具有两个快变量和一个慢变量的三维奇摄动系统.通过定义奇异鞍点和奇异结点,我们利用线性化和隐函数定理证明:奇异鞍点和奇异结点经(奇异)摄动后分别成为上述三维奇摄动系统的鞍点和结点;同时将以上结论运用于分析判断FHN方程平衡点的存在性以及类型.第三章研究了一类耦合FHN方程周期轨和同宿轨的存在性.首先,我们给出了层系统的周期轨和同宿轨的显示表达式;接着,引入Melnikov函数,获得耦合FHN方程周期解、同宿解和异宿解的存在性及其对应的参数条件.第四章总结以上研究成果,对本文的内容进行思考,提出不足之处以及以后可以深究的问题.
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