图的谱理论在图的发展过程中有着重要的作用,它表示对应于图的某个矩阵的所有特征值的集合(邻接矩阵、拉普拉斯矩阵以及规范拉普拉斯矩阵).图的谱理论主要是通过研究对应的矩阵来刻画和描述一个图的结构和性质,这些都是研究图的一个重要的分支.由于符号图是图的一类,并且对于符号图的研究也是近年来研究的热点,且已经取得了很多重要的结论.其中对符号图的拉普拉斯矩阵以及拉普拉斯谱的研究则是一个比较重要的内容.本文主要应用图论以及图的变换等方法对符号图的拉普拉斯最小特征值的极值进行了研究.本论文共分为4章.第1章是绪论,简要介绍了符号图的相关概念和基本知识,以及目前所取得的主要研究结论,并且给出了本文将讨论的主要问题.第2章我们主要研究具有n个顶点k个悬挂点的单圈符号图拉普拉斯最小特征值最小时,符号图的具体结构.我们知道,拉普拉斯最小特征值λn>0当且仅当符号图是非平衡时.因此,我们主要研究具有n个顶点k个悬挂点的非平衡连通符号单圈图.研究方法主要利用图形的变换研究讨论拉普拉斯最小特征值取得最小值的时候,在转换等价意义下的符号图的结构,最终得到符号图Γ(3),即C(υ3)◇(υ3,υn-k)(υ3,υn-k)◇S k+1,υn-k)(υn-k),见图2.8.第3章我们研究了在转换等价意义下,同样对于有κ个悬挂点的单圈符号图,拉普拉斯最小特征值取得第二小的符号图进行了讨论.其中,首先对悬挂点的个数进行了分情况讨论,再对围长的奇偶性进行分类讨论.第4章的总结展望中,我们通过计算推理给出了,当κ = n-3时和k = 1时,两种情况下,具有k个悬挂点的单圈符号图的拉普拉斯最小特征值最大时,图的结构,同时也提出了更具有研究性的问题.