Melnikov函数和跟踪定理是现代混沌理论等复杂动力学研究领域中的经典数学工具.其中,Melnikov函数可以用来精确测量动力系统Poincaré映射稳定流形和不稳定流形之间的距离,其简单零点的存在意味着横截同宿点的出现,这进一步预示了该系统可能具有混沌特性.另外,跟踪定理可用于建立动力系统Poincaré映射和Smale马蹄映射之间的同构关系,它可以用来描述混沌系统轨道的长期行为,并揭示混沌现象的内在规律.Melnikov函数和跟踪定理为预测和控制混沌行为提供了重要理论基础.时至今日,它们依然被用于处理力学、气象学、经济学等各个领域的问题.如何在更广泛、更复杂的系统中构造Melnikov函数和证明跟踪定理是众多学者长久以来致力推进的方向.本文利用指数二分和指数三分理论研究了一般性退化同宿系统的Melnikov函数和随机动力系统中的跟踪定理.主要内容概述如下:在绪论中,我们首先介绍了复杂动力学的起源,Poincaré同宿纠缠现象,以及Birkhof-Smale同宿理论.然后,结合已有结果和相关文献,我们分析了Melnikov函数和跟踪定理在研究复杂动力学行为中的重要作用.最后,我们介绍了本文的主要工作,研究意义以及行文安排.在第二章中,为了文章的完整性,我们介绍了后文所必需的概念和相关的理论结果.其中包含一些动力系统和泛函分析的定义和结果,双曲动力系统的经典指数二分理论,以及随机动力系统中的一些概念和重要性质.在第三章中,我们给出了一般性退化同宿系统的Melnikov函数.具体来说,我们首先考虑了具有小参数的线性微分方程,当参数取某一正则值时,该方程可以具有任意多个有界解,即该方程最初仅需满足非常弱的半轴指数二分条件.利用Lyapunov-Schmidt约化方法和隐函数定理,我们给出了该方程具有全局指数二分的参数条件.在此基础之上,我们考虑了具有多参数扰动的退化同宿系统.我们引入了一般性退化同宿轨条件,该条件使得我们所考虑的系统可以具有有限维空间中所有类型的同宿轨.利用前面的结果,我们给出了一般性同宿系统的高维Melnikov函数,该函数可用于判断一般性退化同宿系统横截同宿解的存在性.在第四章中,我们分别证明了离散和连续随机动力系统在其双曲集上的跟踪定理.首先,我们将指数二分相关理论推广到随机差分系统中,并研究了随机指数二分的重要性质.另外,作为主要定理证明的核心,我们证明了由随机差分方程组所确定的线性算子在乘积空间中的可逆性和强可测性,并且证明了随机版本的Newton迭代法.以上述结果作为基础,我们引入了离散随机动力系统双曲集的定义,并证明了该系统在其双曲集上的跟踪性质.特别地,与现有方法相比,我们不要求随机动力系统的时间1映射是微分同胚,并且在随机伪轨不具备全局可测性的情况下,我们依然能够得到全局可测的跟踪解.最后,我们考虑了由随机抛物发展方程确定的连续随机动力系统,并证明了该系统的跟踪定理.在第五章中,我们分别证明了离散和连续随机动力系统在其退化双曲集上的跟踪定理.首先,我们利用可测范数引入了非一致指数三分的定义,证明了具有非一致指数三分随机差分系统的相关性质,并对受非线性扰动的差分方程给出解的存在性条件.最后利用这些结果,我们给出了随机退化双曲集的概念,并分别证明了离散及连续系统在其退化双曲集上的跟踪定理.第六章是关于全文内容和创新意义的总结.