在实际的图像处理问题中，图像的边缘图作为图像的一种基本特征，被经常应用到较高层次的特征描述、图像识别、图像分割、图像增强以及图像压缩等等的图像处理和分析技术中，从而可对图像作进一步的分析和理解。 而信号的奇异点或突变点往往表现为相邻像素点处的灰度值发生了剧烈的变化，我们可以通过相邻像素灰度分布的梯度来反映这种变化。在对单尺度下的传统边缘检测算子和多尺度小波边缘检测算子介绍的基础上，讨论了B样条、Gauss函数的n阶导数、谐波函数以及Hermite函数在小波理论中所具有的良好性质，以及它们在图像边缘检测中的具体应用。 由于在数学上可以利用Lipschitz指数来对信号的奇异性进行详细的刻划，所以我们可以通过对噪声信号和奇异信号的Lip指数特性的研究，根据它们的不同特征来达到去除噪声和提取真正边缘的目的。文中对奇异性指数的求解问题进行了较详细的讨论和研究，同时对不同小波基下的信号奇异性检测情况进行了分析和比较。 另外，文中对图像在边缘检测前的模糊清晰化和对比度增强技术进行了详细的讨论，使得在应用各种边缘检测算子时能更多地提取出图像的边缘。同时也对阈值的选取和边缘链接问题进行了进一步的研究和处理，以期得到更好视觉效果的边缘图像。 最后，在传统的边缘检测算法和小波分析的边缘检测算法之外，对以下几个方面也进行了一些讨论：1)利用误差图像来提高边缘检测效果的算法；2)将求解任意方向的一阶、二阶方向导数的问题转换到频域中去求解，发现在频域中它们具有简单易用的公式，使得原来求解任意方向的一阶、二阶导数的比较困难的问题变得容易实现了。3)利用小波变换后的几个相邻数据的相关量来描述奇异信号与噪声信号的不同，以达到进一步锐化边缘和抑制噪声的目的。4)通过构造新的能量函数和自适应地调节参数因子，将边缘检测问题转化为求解总能量最小的问题。