矩阵理论是解决仪器科学、计算机科学等学科中工程问题的重要工具,而矩阵的特征值问题作为矩阵理论中的一个重要分支,在工程技术问题中具有广泛的应用。在实际应用当中,一方面需要加强矩阵特征值理论在工程技术中的应用研究,另一方面,还需要对矩阵特征值的理论本身进行基础研究,为其工程应用奠定理论基础。而对矩阵特征值理论的进一步深化即为矩阵的惯量问题,它将矩阵特征值理论由数值研究推进为组合研究,所以对矩阵理论当中的惯量问题进行基础理论研究和应用研究,具有重要的理论意义和应用价值。本论文主要围绕矩阵特征值理论的基础问题和应用开展研究,论文介绍了矩阵的谱理论、矩阵特征值的扰动理论、盖氏圆盘定理、矩阵分析理论中的一些知识,介绍了符号模式矩阵、零-非零矩阵、ray模式矩阵、复符号模式矩阵的相关概念,以及证明符号模式矩阵谱任意的常用方法,介绍了矩阵特征值理论在信号处理中的应用。在此基础上,论文对相关问题进行了系统研究。论文主要成果及创新有:(1)研究了一些特殊类型的符号模式矩阵的惯量和谱。首先我们将利用矩阵理论和组合论的方法构造了一类谱任意的零-非零模式矩阵,并且证明该模式也是惯量任意的符号模式矩阵;其次给出一类由低阶矩阵通过直和构造而成的几乎完全惯量任意符号模式矩阵;最后将利用有固定惯量的矩阵的特征多项式的系数的一些性质对一类特殊的非幂零的惯量任意符号模式矩阵的极小性进行了讨论,并且应用归纳的思想证明其是极小惯量任意符号模式矩阵。(2)研究了ray模式矩阵的谱任意性、极小性以及非零元的个数,给出了三类谱任意ray模式,并且通过寻找模式证明了存在仅含3n?1个非零元的谱任意ray模式。(3)利用推广的幂零-雅可比方法证明了一类仅含3n个非零元的复符号模式矩阵是谱任意的。(4)研究了矩阵特征值理论在矢量水听器阵列信号处理中的具体应用。首先在传统声压阵列信号源数估计方法的基础上,利用盖氏圆盘定理,建立了基于特征值估计的信号源数估计方法,其次,基于特征向量受噪声影响较小的特点,并根据阵列导向向量和信号空间的一致性,建立了基于特征向量的信号源数估计方法;最后,通过MATLAB仿真,验证了所提算法的估计性能。