本文第一章研究一类二阶退化椭圆型方程边值问题的适定性.该类问题与几何中无穷小等距形变刚性问题的研究密切相关，而这类方程的特征形式在所研究的区域上是变号的，即在有的子区域上非负，而在其余的子区域上非正.其适定性是值得深入讨论的.我们得到这类问题的H1弱解的存在性和唯一性. 第二章致力于在有界周期区域上讨论一类退化椭圆型方程Dirichlet问题的解的高阶正则性.这类问题与双曲空间中极小图的Dirichlet问题，以及曲面的无穷小等距形变刚性问题都密切相关，其解的正则性在几何问题的研究中尤为重要.因此，解的正则性值得作进一步的讨论.最后，我们得到一个涉及解的高阶正则性的充分必要条件. 到目前为止，人们还没有标准的方法来处理此类问题.因此，本文所使用的方法或许有助于更一般的退化二阶椭圆型方程的研究.