1939年,Keller提出了著名的Jacobi猜想,许多数学家围绕这一猜想作了大量研究,但至今仍未解决.2007年,赵文华教授提出了Mathieu子空间,像猜想等理论用于对Jacobi猜想的研究.本论文第一章介绍了Mathieu子空间,像猜想等理论的发展背景以及现状.第二、三章介绍了Mathieu子空间和像猜想,（广义）消逝猜想与Jacobi猜想之间的联系,以及关于像猜想和微分算子的像的一些研究结果.第四章是我们自己关于像猜想的一些结果,主要证明了高阶像猜想在特征p情形对任意维数均成立,并证明了特征0一维高阶像猜想的一个特殊情形.具体内容如下:定理0.1.设k为特征p的域,A为有1交换k-代数,A[z]=A[z₁,z₂,...,z_n]为A上的n元多项式环,a₁,a₂,...,a_n∈A是正规序列,D为微分算子集:σ₁-a₁,σ₂-a₂,...,σ_n-a_n,其中σ_i∈A[?_z1,?_z2,...,?_zn],i=1,2,...,n且常数项系数为0.那么Im D:=∑?ⁿ_i=1（σ_i-a_i）A[z]是A[z]的一个Matheiu子空间.定理0.2.设k为特征0的域,A[z]为有1交换k-代数A上的一元多项式环,D=?_z²-a²,其中a∈A不是零因子且Aa为A的根理想,那么Im D=（?_z²-a²）A[z]为A[z]的一个Mathieu子空间。