本文通过Riemann曲面中正则覆盖曲面,给出了单连通区域内复值函数的柯西第一积分定理的一种新的证明方法,从而推导出单连通区域内变上限积分是一个单值函数。文章主要包括以下几部分：第一部分简单的介绍国内外数学家在这个领域的研究成果及意义,同时引入一些与本文相关的定义,并且介绍了与本文相关的引理和定理。第二部分本章作者证明了：f在区域D内解析,在D内固定一点a,Vp E D存在一条路径l:[0,1]→D为连续映射,l(0)=a,l(1)=p,沿此路径积分为∫la→b f(z)dz,己有序偶对(p,∫la,→pf(z)dz)为p。这样的有序偶对全体为D,则D构成一个Riemann曲面,且此Riemann曲面D是D的正则覆盖曲面。并且得到了两个的推论：(1)设f为D上解析函数,固定起点α对于(?)p∈D,如果存在l：[0,1]→D的连续映射,l(0)=a, l(1)=p,那么对于F(p)=∫la→pf(z)dz,每一点p取得值的次数相同；(2)若D为单连通区域,则积分F(p)=∫la→pf(z)dz是单值函数。第三部分总结与展望。