金融衍生品是在未来某一时间执行关于某些基础资产的某种交易的合同约定。一方面衍生品能够满足套期保值者的风险管理的需求;另一方面,相比于直接进行标的资产交易,衍生品交易可以降低投资者的交易成本和克服相关的交易限制。因此衍生品市场获得了蓬勃的发展,关于金融衍生品特别是场外衍生品的估值问题也引起了人们广泛的关注。自1973年Black-Scholes模型问世以来,期权定价模型的推广和应用一直是金融数学研究方向的热点之一。本文主要研究了场外期权的定价和对冲问题以及倒向随机微分方程的应用,主要内容分为六章:第一章我们给出了本文的研究背景和主要成果的概括。首先我们介绍了衍生品市场的一些概况,帮助理解期权定价理论的应用场景。然后我们简要描述了违约风险下的场外期权定价问题。最后我们给出了本文的主要研究内容的概述。第二章我们对做市商应用期权定价模型的主要场景做出了回顾。首先,我们简要描述了期权定价理论中的一些经典模型和成果。我们给出了 Heston随机波动率模型及其拓展模型的数值解,并回顾了用于期权组合风险对冲的Black-Scholes模型的希腊值,给出了 CEV模型风险因子的解析计算公式和随机波动率模型风险因子的数值计算公式。最后以台湾TXO期权市场为例,我们展示了如何使用市场数据进行期权定价模型的参数校准。第三章我们介绍了能源商品市场中的协整现象,研究了随机波动率模型和双因子均值回复模型直接对商品现货价差进行建模的衍生品定价问题,并给出了期货价差的解析定价公式和价差期权的数值定价公式。首先,我们给出了现货价差均值、方差及特征函数的显式表达式。由于现货价差均值具有显式表达式,我们获得了期货价差的解析定价公式,并且基于该解析公式,我们提供了两种参数校准方法,一种是基于不同到期日的期货合约价差历史数据进行参数校准;一种是基于期货价差和现货价差的历史数据进行参数校准。我们分别给出了以现货价差为标的的欧式期权和以期货价差为标的的欧式期权的数值定价公式,并通过数值模拟我们展示了各参数对期权价格的影响。最后我们以能源市场中的布伦特原油和轻质原油之间的价差为例给出了模型的实证分析。第四章我们研究了结构化违约风险模型下的场外可损期权定价问题。首先我们使用随机波动率和双指数跳模型刻画期权标的价格和期权卖方的资产价值,并获得了动态系统特征函数的显式表达式。基于COS方法我们给出了欧式期权的数值解,并用逆快速Fourier变换方法得到了二次行权的百慕大期权的数值解。通过修正的Geske-Johnson方法,我们给出了美式期权的近似定价公式,并通过数值模拟展示了随机波动率模型对场外可损期权的影响。第五章我们研究了简约化违约风险模型下的场外可损期权定价问题。在模型中我们考虑了融资成本和抵押金的影响。在无套利原则下,给出了期权价格所处的无套利区间,并将无套利区间的边界转换为构建复制策略和抵消策略的倒向随机微分方程的解来计算。在一定条件下,我们得到了局部波动率模型无套利区间上下边界的关于场内期权价格的积分显式表达式。特别的,得到了时变Black-Scholes模型的无套利边界的显式表达式。此外,我们还为期权持有者提供了一种对冲策略,通过使用期权发行者发行的风险债券来对冲剩余的潜在违约损失。通过数值模拟,可以直观的观察到违约风险、融资成本和抵押品对期权价值的影响。第六章在满足一般性假设的信息流和一定可分性的概率空间中,利用倒向随机微分方程的解的存在唯一性,我们构造了一类特殊的g-期望。在一定的控制假设下,我们得到了一致性非线性期望的鞅表示定理,并证明了这些非线性期望可以表示为特殊的g-期望。最后,我们讨论了这类g-期望的应用。