【摘 要】
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混沌动力学作为动力系统复杂性研究的一个重要课题,已成为近几十年来的一个热门研究领域,并且在实际生活中有广泛的应用.本文主要研究无穷维Fréchet空间上连续线性算子的混沌动力学性质.一方面,探讨线性算子的平均Li-Yorke混沌与分布混沌、Li-Yorke混沌等其他混沌定义之间的关系.另一方面,深入分析一类复合算子的长期渐近行为.具体内容安排如下:第一、二章简要介绍混沌动力系统的研究进展,回顾拓扑
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混沌动力学作为动力系统复杂性研究的一个重要课题,已成为近几十年来的一个热门研究领域,并且在实际生活中有广泛的应用.本文主要研究无穷维Fréchet空间上连续线性算子的混沌动力学性质.一方面,探讨线性算子的平均Li-Yorke混沌与分布混沌、Li-Yorke混沌等其他混沌定义之间的关系.另一方面,深入分析一类复合算子的长期渐近行为.具体内容安排如下:第一、二章简要介绍混沌动力系统的研究进展,回顾拓扑动力系统的一些基础知识以及线性算子的超循环性、Devaney混沌、Li-Yorke混沌等动力学结果.第三章研究Fréchet空间上连续线性算子的按序列平均Li-Yorke混沌动力学性质,并探讨它与分布混沌、Li-Yorke混沌之间的内在联系.证明算子是Li-Yorke混沌的,当且仅当算子是按序列平均Li-Yorke混沌的,且该序列的上密度为1;算子是平均Li-Yorke混沌的,当且仅当它是第二型分布混沌的,当且仅当算子具有一个绝对平均不规则向量.给出了反例说明:线性算子的平均Li-Yorke混沌性质不是拓扑共轭不变量.所得结果推广了文献[Bernardes et al.,JFA,2020]的相关结果,并肯定回答了该文献中的一个有关算子分布不规则向量的存在性问题.最后,从族混沌的角度探讨了一类加权移位算子更复杂的不变混沌集.第四章刻画一类作用在连续函数空间上的复合算子CΦ的动力学.得到CΦ是稠密Li-Yorke混沌的,当且仅当Φ有弱run-away性质;CΦ是超循环的,当且仅当Φ是单射且有弱run-away性质;若Φ是单射且有强run-away性质,则CΦ是Devaney混沌的.特别地,对由仿射变换诱导的复合算子的长期渐近行为给出了分类.
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