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本文利用非线性泛函分析中的拓扑度方法与临界点理论，主要研究了两类十分重要的非线性常微分方程共轭边值问题解的存在性与多重性，得到了新的结论。同时，也改进了以往的一些结果。
在第一章中，我们首先讨论了非线性二阶方程三点边值问题{-u″(t)=α(t)f(u(t)),0≤t≤1,u(0)=0,u(1)=βu(η)(1.1)
正解的存在性与多重性。其中η∈(0，1)，0＜β＜1/η，f∈C([0，∞)，[0，∞))，α∈C([0，∞)，[0，∞))，并且至少存在一点t0∈[η，1]，使得α(t0)＞0。
进而首次提出了问题(1.1)的共轭边值问题{-u"(t)=γ(t)g(u(t)),0≤t≤1,t≠η,u(0)=u(1)=0,u+(η)-u-(η)=βu′(1)。(1.24)
同时，也讨论了其正解的存在性与多重性。其中g∈C([0，∞)，[0，∞))，γ∈C([0，∞)，[0，∞))，并且对于给定的c∈(η，1)，至少存在一点t0∈[η，c]，使得γ(t0)＞0。
我们得到了问题(1.1)与(1.24)相应的Green函数之间的关系，从而将它们转化为Hammerstein型积分方程。通过线性积分转置算子的有关特征值性质，借助于相应线性问题的第一特征值，利用锥上的不动点指数理论，给出了问题(1.1)与(1.24)单个及多个正解存在的特征值准则，从本质上推进了三点边值问题的研究。
设λ为问题(1.1)相应线性问题的第一特征值，记f0=limx→0+f(x)/x，f∞=limx→∞f(x)/x。
假设条件为：(H1)f0＜λ＜f∞；(H2)f∞＜λ＜f0；(H3)f0＞λ，f∞＞λ，且存在r1＞0和M1∈(0，σ1)，使得当x∈[0，r1]时，f(x)≤M1r1；(H4)f0＜λ，f∞＜λ，且存在r2＞0和M2∈(σ2，+∞)，使得当x∈[μr2，r2]时，f(x)≥M2r2。
那么，第一章第一节的主要结论如下。
定理1.1.1当(H1)或(H2)成立时，问题(1.1)至少有一个正解。
定理1.1.2当(H3)或(H4)成立时，问题(1.1)至少有两个正解。
设λ为问题(1.24)相应线性问题的第一特征值，记g0=limx→0+g(x)/x，g∞=limx→+∞g(x)/x。
假设条件为：(H1)g0＜λ＜g∞；(H2)g∞＜λ＜g0；(H3)g0＞λ，g∞＞λ，且存在r1＞0和M1∈(0，σ1),使得当x∈[0，r1]时，g(x)≤M1r1；(H4)g0＜λ，g∞＜λ，且存在r2＞0和M2∈(σ2，+∞)，使得当x∈[μr2，r2]时，g(x)≥M2r2。
那么，第一章第二节的主要结论如下。
定理1.2.3当(H1)或(H2)成立时，问题(1.24)至少有一个正解。
定理1.2.4当(H3)或(H4)成立时，问题(1.24)至少有两个正解。
在第二章中，我们首先利用与第一章类似的方法，研究了当非线性项相同时，四阶方程两点边值问题
{u(4)(t)=f(t,u(t)),0≤t≤1,u′(0)=u"(0)=u"(0)=0,u(1)=u(1)(2.1)
与其共轭边值问题{v(4)(s)=f(s,v(s)),0≤s≤1,v"(0)=0,v(1)=v′(1)=0,v"(1)=v(")(1)(2.2)
正解的同时存在性与多重性。其中f∶[0，1]×[0，+∞)→[0，+∞)为连续函数。
设λ为问题(2.1)相应线性问题的第一特征值，记(f)0=liminfx→0+minf0≤t≤1f(t,x)/x,(f)0=limsupx→0+max0≤t≤1f(t,x)/x,(f)∞=liminfx→+∞min0≤t≤1f(t,x)/x,(f)∞=limsupx→+∞max0≤t≤1f(t,x)
假设条件为：(H5)(f)0＜λ＜(f)∞；(H6)(f)∞＜λ＜(f)0；(H7)(f)0＞λ及(f)∞＞λ，并且存在常数r1＞0，使得当t∈[0，1]及x∈[0,r1]时，f(t,x)＜8/3r1；
(H8)(f)0＜λ及(f)∞＜λ，并且存在常数r2＞0，使得当t∈[0，1]及x∈[3-√3/4r2,r2]时，f(t,x)＞8(3+2√3)/3r2。
那么，第二章第一节的主要结论为：定理2.1.1当(H5)或(H6)成立时，问题(2.1)与(2.2)同时存在正解。
定理2.1.2当(H7)或(H8)成立时，问题(2.1)与(2.2)同时存在两个正解。
其次，我们利用变分方法，将临界点理论中著名的P.S.条件、山路引理及偶泛函临界点定理等抽象结论具体应用于实际，研究了自共轭非线性四阶方程两点边值问题{u(4)(t)=f(u(t)),0≤t≤1,u(0)=″u(")(0)=0,u(1)=u"(1)=0(2.13)
解的存在性、非零解的存在性和无穷多解性。其中f∶R1→R1为连续函数。第二章第二节的主要结论如下。
定理2.2.5假设∫u0f(v)dv≤a/2u2+b(t)|u|2-γ+c(t)，f∈[0,1]，u∈R1。其中a∈[0,π4/16)，b∈Lγ12[0,1]，c∈[0,1]，γ∈(0，2)，则问题(2.13)至少存在一个解。
定理2.2.6假设下列条件成立，则问题(2.13)至少存在一个非零解。
(H9)存在μ∈[0，1/2)及M＞0，使得|u|≥M时，F(u)=∫u0f(v)dv≤μuf(u)；(H10)limsupu→0mf(u)/u＜π4/16,liminfu→+∞f(u)/u＞π4/16。
定理2.2.7假设f为奇函数，即f(-u)=-f(u)，u∈R1。如果定理2.2.6中的条件(H9)成立，并且limsupu→0f(u)/u＜π4/16，liminfu→+∞f(u)/u=+∞，则问题(2.13)必存在无穷多个解。