本文主要研究某些微分方程的两类控制问题:第一类控制问题涉及对控制系统施加连续型控制.对于该类型的控制问题,本文主要研究热方程的最短时间控制问题和最小范数控制问题的等价性;第二类控制问题涉及对系统施加离散型(脉冲)控制.对于该类型的控制问题,本文研究常系数耦合热系统的脉冲零能控性和脉冲近似能控性.本文的结构如下:本文总共有三章.第一章为前言,主要介绍本文的研究内容,研究动机和背景.在这章中,我们首先列出本文中一些常用的数学记号;然后,我们介绍热方程的最短时间控制问题和最小范数控制问题,以及它们之间的等价性,并回顾了等价性的发展和研究现状;最后,我们介绍常系数耦合热系统的一些脉冲能控性问题.第二章的主要内容来自[49].本章中,我们研究带内部控制的热方程的最短时间控制问题和最小范数控制问题之间的等价性.这里,两类最优控制问题的目标集均为状态空间中带非空内部的有界闭凸集(此时包含了目标集远离零点时的情形).当目标集是原点或者以原点为中心的闭球时,最小范数函数和最短时间函数均为连续的,严格单调递减的,并且两者互为逆函数.基于这些特性,已经有一些有效的方法用来证明上述等价性.然而,当目标集不是原点或者不是以原点为中心的闭球时,最小范数函数可能不再具有单调性,并且最短时间函数的值域可能不再连续,因此我们难以借鉴以前的办法去证明上述等价性.这是本章研究所需要克服的主要困难.为了克服这个困难,我们引入了一些新的想法,由此得到了上述等价性,并给出了此等价性的一些应用.第三章的主要内容来自[50].本章中,我们将研究常系数耦合热方程组的脉冲零能控性和脉冲近似能控性.我们首先说明了,该控制系统具有脉冲零能控性当且仅当控制区域为全部区域.这个结论促使我们在本章中的主要研究目标转为该控制系统的脉冲近似能控性.我们给出了脉冲近似能控性成立的一个充分必要条件.通俗来讲,这个条件是耦合矩阵和控制矩阵满足Kalman能控性秩条件.此外,我们注意到脉冲时刻点的位置和个数的信息对实现脉冲近似能控性是非常重要的.为此,我们给出了能够实现脉冲近似能控性的脉冲时刻点的位置和个数的一些刻画,并说明了这些刻画的某种最优性.