论文部分内容阅读
非线性算子的不动点理论在数学的许多领域,特别是在各种非线性微分方程和非线性积分方程中有着广泛的应用.由于应用数学中许多高阶微分方程等可通过适当的变量替换转化为由非线性算子定义的积分方程,目前在理论上和应用中出现的大量非线性问题是缺乏紧性或连续性的,因此研究非线性算子不动点在抽象空间中的微分积分方程的应用具有一定的理论意义和应用价值.
本文第一章主要介绍了非线性算子方程理论的研究背景,并且给出了非线性泛函分析中的基本知识,包括后面文章的证明中用到的一些定义、引理等.有关非线性泛函分析的其它更详细的知识,请参见文献[1-10].
第二章主要研究了Banach空间E中的半线性混合型发展方程的初值问题{u＇(t)+Au(t)=f(t，u(t),(Tu)(t),(Su)(t)), t∈J,u(0)=x0,(2.1.1)其中A∶D(A)→ E为一个闭稠定的线性算子,-A生成的E中的C0-算子半群T(t)(t≥0),J=[0,a],x0∈E和(Tu)(t)=∫t0 k(t,s)u(s)ds,(Su)(t)=∫a0 h(t,s)u(s)ds,t∈J,其中k∈C(D,R),D={(t,s)∈J×J∶t≥s},且h∈C(J×J, R),R为实数集.M=sup{||T(t)||∶t∈[0,a]},k0=max{|k(t,s)|∶(t,s)∈D}.通过利用凸幂凝聚算子的不动点定理和函数e-λt的特殊性质,得到更广泛条件下(2.1.1)的整体mild解和最小最大mild解.
第三章利用M(o)nch不动点定理和Gronwall不等式,采用分段估计的办法来讨论Banach空间中的一类脉冲微分-积分方程初值问题{u＇(t)=f(t，u(t),λ1u＇(t),λ2(Tu)(t)), t∈J,t≠tk(k=1,2,3,…,m),△u|t=tk=Ik(u(tk)),(k=1,2,3,…，m),u(t0)=t0,(3.1.1)解的存在性,其中f∈C[J×E×E×E,E],J=[t0,t0+a](a＞0),t0＜t1＜…＜km＜t0+a＜+∞,λ1,λ2≥0为两个常数,Ik∈C[E,E],△u|t=tk=u(tk+)-u(t-k),u(t+k),u(t-k)分别是u(t)在t=tk处的左极限和右极限,(Tu)(t)=∫t0k(t,s)u(s)ds,k(t,s)∈C[D1,R+],D1={(t,s)|t,s∈J,t≥s},k0=max{k(t,s)|(t,s)∈D1}.
第四章主要考虑Banach空间E中的非线性脉冲Volerra型积分方程x(t)=h0(t)+∫t0 H(t,s,x(s),(Tx)(s),(Sx)(s))ds+∑0＜tk＜t ak(t)Ik(x(tk)),t∈J,(4.1.1)其中h0∈PC(J, E),H∈C(D1×E×E×E,E),D1={(t,s)∈J×J|0≤s≤t≤a},(Tx)(t)=∫t0k(t,s)x(s)ds,(Sx)(t)=∫a0h(t,s)x(s)ds,k∈C(D1,R),h∈C(J×J,R),Ik∈C(E,E),ak∈C(J*k,R),J*k=[tk,a],k=(1,2,…,m).通过利用分段估计的手段,运用M(o)nch不动点定理,在更广泛的条件下得到了Volterra型积分方程(4.1.1)解的存在性结果.