破产理论一直是风险理论的研究核心，对它的研究既有保险实务的应用背景，又有概率论上的兴趣。经典的破产理论起源于瑞典精算师Lundberg的研究，但他的工作不符合现代数学的严格标准。其后以Cramer为代表的瑞典学派将Lundberg的工作建立在严密的随机过程理论的基础之上，从而确立了现在公认的破产理论基本模型和定理。 随着当代对破产理论研究的深入以及实际经济金融背景的变化，研究的方法不断创新，研究的模型和方向也不断扩展。本文首先介绍经典的Lundberg-Cramer模型的确切表述，独立性假定、相对安全负荷假定和调节系数假定，以及主要结果Lundberg-Cramer定理，然后分别用鞅方法和更新论证技巧给予证明，这两种证明都是现在研究破产问题的主要方法，对他们的介绍有利于我们理解其他类似的结果。接下来简要介绍近期在破产论研究中感兴趣的问题，在此基础上引入本文的主要结论-给出在复合二项模型下，折现罚金函数的期望(用φ(u)表示)的递推公式，以及初始盈余为0时，φ(0)的显式表达，从而通过递推式，可以求出其他初始盈余时φ(u)，u=1，2，3…的值，解决了该模型下对任意给定初始盈余时，求解折现罚金函数的期望的问题。文章中用了一个例子来演示，可以使我们更好的理解该结果。 φ(u)与传统的破产概率不同，它不光考虑破产时刻，还考虑了破产前盈余，破产时赤字以及利率的影响，并且对罚金函数的具体形式没有要求，因而威力强大，例如破产概率就只是它的一个特例。但它的作用远不止此，实际上只要选取特定的罚金函数的形式，或者同时再选择一定的折现因子，就可以发现前人的许多经典的结论都蕴涵在该结论中。在文章的注记或推论中，给出了这些结果。