计数组合学是组合数学的重要研究方向之一,主要研究有限集合上的组合结构在给定条件下的计数问题.n元集合的分拆是组合数学中最为熟知的基本研究对象之一.最近,Deustch和Elizalde研究了给定最大或最小固定点的排列,并得到错排数的一个新的组合解释.受到他们的研究工作的启发,本文在集合分拆中考虑类似的问题,即研究给定最大单点块的集合分拆问题.　　 本文的主要工作包括以下几个方面:　　 第1章介绍了集合分拆和Bell数同余的研究背景,给出了生成函数、哑算子的简单介绍.　　 第2章研究n+1元集合{1,2,…,n+1}的分拆中最大单点块为{k+1}的分拆数An,k,利用代数和组合的方法得到An,k的一些明显的计数公式,其中包括Dobiskis型的计数公式.　　 第3章借助哑算子的方法给出有关An,k和Bell数等序列的许多恒等式,并给出其中部分恒等式的组合解释.　　 第4章研究了An,k的同余性质.利用Fermat同余和Lagrange同余等推广了有关Bell序列的Touchard同余、Comtet同余,得到序列(An+k,k)n≥0和(An+k,k)k≥0在模素数p时具有周期性.最后提出序列(An+k,k)n≥0和(An+k,k)k≥0在模素数p时的最小周期为Np的猜想.