本文内容主要分为两个部分。第一部分研究了Carnot群上的散度型拟线性次椭圆方程很弱解梯度的可积性指数的提高,给出扰动向量场的Hodge分解和估计,从而利用Hodge分解构造反向H(o|¨)lder不等式,建立了其很弱解的正则性结果。第二部分对于复平面上具有Lyapunov边界的开口曲线,在保持有限M(o|¨)bius变换群作用下不变的Riemann边值问题,给出了齐次和非齐次问题的可解性理论和解的简单表示形式。具体地:第一部分考虑了Carnot群上的拟线性次椭圆方程的很弱解,共分两章。第一章介绍了很弱解问题发展的有关历史概况和Carnot群的基本概念及问题的选题背景。第二章考虑如下的拟线性次椭圆方程X~*A(x,u,Xu)+B(x,u,Xu)=0建立了其很弱解在Carnot群上的正则性的提高,得到其很弱解是经典意义下的弱解的结果。第二部分考虑了有限M(o|¨)bius变换群不变的开口弧段Riemann边值问题,这部分分为第三章和第四章。第三章给出了解析函数的发展概况,并介绍了一些相关的边值问题。第四章考虑了边界曲线为开口弧且在有限的M(o|¨)bius变换群作用下保持不变的Riemann边值问题,本文所采用的方法是将这种有限的M(o|¨)bius变换群下的Riemann边值问题转化为基本区域上开口弧的边值问题解的表示形式而得到解决。