本论文主要讨论Lagrange-Bürmann展开定理，并以显函数和隐函数为不同前提条件将Lagrange-Biirmann展开定理分开讨论．本文涉及定理证明的方法一般有两种，复分析法和形式幂级数代数，作为定理的应用，我们证明了几个著名的恒等式，并推导出形式比较漂亮的恒等式和新的矩阵反演．论文主要由以下四个部分组成：　　 第一章简单介绍组合反演的历史，文中涉及到与Lagrange-Bürmann展开定理与反演公式的相关的一些预备知识，最后简略介绍了本文的目的和结论，　　 第二章介绍显函数条件下的Lagrange-Bürmann展开定理，从单变量Lagrange-Bürmann展开定理入手，然后引入多变量Lagrange-Bürmann展开定理，并分别从复分析和形式幂级数代数两个角度来分析Lagrange-Bürmann展开定理，作为本论文的主要结论，我们给出了形式幂级数代数中的单、多元Lagrange-Bürmann展开定理的新证明．这种证明方法的意义就是将定理的本质归结于基本行列式的简单性质上，　　 第三章主要研究隐函数条件下的单变量Lagrange-Bürmann展开定理的解析证明方法，并利用本定理建立一对新的矩阵反演，最后简单讨论了隐函数条件下的多变量Lagrange-Bürmann展开定理，　　 本文最后一章讨论了离散形式的Lagrange-Bürmann反演．受马欣荣的（f，g）-反演的启发，我们将利用与证明形式幂级数代数中的多维Lagrange-Bürmann展开定理类似的方法—行列式的基本性质—给出Krattenthaler和Schlosser的多维矩阵反演的新证明．作为本文主要结果之一，这种证明揭示了多维Krattenthaler-Schlosser矩阵反演的本质。