拓扑指数是从由分子图表示的化合物集到实数集的映射．在[13]中介绍了上百种拓扑指数．许多拓扑指数和构成物质的物理化学性质有着紧密的联系．半个世纪以前的1947年，Harold Wiener[18]提出了第一个拓扑指数-Wiener指数，并且发表了一系列的文章[18]-[21]来证明组织结构分子图的Wiener指数和这种物质的物理和化学性质有着极好的联系．图G的Wiener指数W(G)定义为W(G)=∑u,v dG(u，v)，　　其中，dG(u，v)是G中的点u和v之间的距离并且求和取遍所有的点对．自从Wiener指数提出到现在已经取得了很多结果．在这些结果中，大多数是关于无圈分子图也就是树的Wiener指数的化学应用[3，5，6，7，9，11，12，14]．另外，单圈图的Wiener指数在[15，16]中也进行了研究。在这篇文章中，我们分别给出了具有最小和最大的Wiener指数的双圈图．本篇文章所提到的所有的图都是有限简单图．没有定义的术语和符号参见[1].双圈图是具有n个点和n+1条边的连通图．度为1的点称为悬挂点，用PV(G)表示G中所有的悬挂点，图G中点的个数称为图的阶(记做|G|)．Cn表示一个n阶圈，Sn表示一个n阶星图．若H(≤)G，用G-H表示通过删除H中的边然后删除孤立点得到的G的子图．若S是一个点集，用G/S表示通过删除G中含于S的点及其邻边得到的图．G中点x和y的距离dG(x，y)表示最短路(x，y)-路中边的条数．当G明确时，dG(x，y)中的G可以省略．d(u，x)表示所有d(v，x)的和，其中x∈V(X)，d(X，Y)表示所有d(u，v)的和，其中u∈V(X)，v∈V(Y)．　　令Bn，p，q表示含有两个圈Cp，Cq的n阶双圈图．我们将Bn，p，q分成三类：　　(ⅰ)Xn，p，q表示G∈Bn，p，q中两个圈无公共点的图的集合；　　(ⅱ)yn，p，q表示G∈Bn，p，q中两个圈仅有一个公共点的图的集合；　　(ⅲ)Ln，p，q表示G∈Bn，p，q中两个圈有一条长至少为1的公共路的图的集合．令Lk n,p,q表示G∈Bn，p，q中两个圈有一条长为k的公共路的图的集合，其中1≤k≤n-3．显然，Ln，p，q=∪n-3 k=1 L k n,p,q和L k n,p,q=L p-k n,p,p+q-2k=L q-k n,p+q-2k,q.　　在本文的第一章，我们首先介绍了Wiener指数的历史背景，其次，介绍本文所要研究的问题及进展，以及本文所获得的主要结论．　　在第二章中，首先给出了这三个图类中具有最小Wiener指数的图，然后通过比较得到双圈图中具有最小Wiener指数的图．　　在第三章中，首先给出了这三个图类中具有最大Wiener指数的图，然后通过比较得到双圈图中具有最大Wiener指数的图．　　在第四章中，我们通过运算比较分别得到了具有次大次小的Wiener指数的双圈图．