【摘 要】
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本文主要研究n-极小Auslander-Gorenstein代数上模的Gorenstein投射维数,关于内射模的相对控制维数以及几乎n-预丛倾斜模.2007年,O.Iyama证明有限n-丛倾斜子范畴的等价类和n-Auslander代数的Morita等价类之间存在一一对应.这一结论被称为高维Auslander对应.利用有限n-丛倾斜子范畴中的n-几乎可裂序列,我们可以得到相应n-Auslander代
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本文主要研究n-极小Auslander-Gorenstein代数上模的Gorenstein投射维数,关于内射模的相对控制维数以及几乎n-预丛倾斜模.2007年,O.Iyama证明有限n-丛倾斜子范畴的等价类和n-Auslander代数的Morita等价类之间存在一一对应.这一结论被称为高维Auslander对应.利用有限n-丛倾斜子范畴中的n-几乎可裂序列,我们可以得到相应n-Auslander代数上单模的极小投射分解.2018年,O.Iyama与（?）.Solberg进一步推广了高维Auslander对应.他们证明有限n-预丛倾斜子范畴的等价类和n-极小Auslander-Gorenstein 代数的 Morita 等价类之间存在一一对应.首先,我们利用有限 n-预丛倾斜子范畴中的n-几乎可裂扩张计算相应n-极小Auslander-Gorenstein代数上单模的Gorenstein投射维数.然后,我们研究n-极小Auslander-Gorenstein代数上的模与其基座的Gorenstein投射维数之间的关系.最后,我们利用这一关系给出n-极小Auslander-Gorenstein代数的两个等价刻画.作为一种重要的同调维数,控制维数在代数表示论中有着广泛的应用.受到（m,n）-条件的启发,我们研究一类更为广泛的控制维数——关于投射维数有限的内射模的相对控制维数.许多与经典控制维数有关的结论都可以推广到相对控制维数上.特别地,我们讨论具有有限相对控制维数的代数并给出这类代数的一种构造方法.最后,我们证明所有具有有限相对控制维数的代数都可以通过这种构造方法来实现.2019 年,T.Adachi 与 M.Tsukamoto 将n-极小 Auslander-Gorenstein 代数定义中的控制维数替换成相对控制维数并由此定义了几乎n-极小Auslander-Gorenstein 代数.他们利用某类倾斜模的存在性给 出了这类代数的一种等价刻画.在本文中,我们从高维Auslander对应的角度研究几乎n-极小Auslander-Gorenstein 代数.首先,我们定义几乎n-预丛倾斜模并介绍这类模的一些基本性质.然后,我们证明几乎高维Auslander对应,即几乎n-预丛倾斜模的等价类和几乎n-极小Auslander-Gorenstein代数的Morita等价类之间存在一一对应.最后,我们利用几乎n-预丛倾斜模来刻画相应几乎n-极小Auslander-Gorenstein代数上的Gorenstein投射模.
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