有限域上的代数曲线和函数域是数论和代数几何的一个重要研究方向,自从1930年到1940年期间Hasse和Weil的开创性工作以来,在这一领域中产生了许多深刻的想法并得出了重要的结果.在数论领域和代数几何领域交汇时特别是综合运用数论和代数几何工具,产生了一个新的称为算术代数几何的研究领域,这一方向现在仍然具有广泛的吸引力.很长时间以后,有限域上的代数曲线和函数域都是纯粹数学的研究领域.直到1977年到1982年期间,Goppa发表了三篇重要的论文,应用有限域上的代数曲线构造了代数几何码.在Goppa的构造中,代数几何码的码长不超过代数曲线的有理点的个数Goppa的构造掀起了数论和代数几何学家研究代数编码理论的高潮.1985年有限域上的椭圆曲线为公开密钥体系提供了一个很好的单向陷门函数.如今,有限域上的代数曲线仍然是一个蓬勃发展的领域,它兼具数学的理论价值和实践中的应用价值.在本文中我们研究一类Artin-Schreier曲线.通过一些指数和的计算,我们得到了这一类Artin-Schreier曲线在有限域上有理点的个数.进一步,本文旨在通过分析相关指数和的显性表达式来得到Hasse-Weil限制条件下的极大曲线,并构造极大曲线.本文的结构如下：第一章说明相关工作的背景,发展概况及问题来源,并阐述本文的研究内容.第二章介绍我们需要的基础知识以及前人的研究结果.第三章我们利用一类有限域上的指数和决定一类代数曲线的有理点个数并构造极大曲线.第四章对整篇文章作总结并提出将来的工作.