本文主要包含两方面的工作:稀疏多项式插值和多项式系统重根求解.对于一般的单变元多项式，传统的Lagrange插值以及Newton插值一般需要等同于多项式次数的样本点.在Prony1795年的工作之后，稀疏多项式的插值问题开始被广泛研究.如果已知多项式的稀疏度，Prony方法所需样本点个数只与其稀疏度有关，因此大大减少了计算量.在实际计算中，Prony方法存在两个主要的难点:计算的数值稳定性和稀疏度的确定.　　Prony方法通过求解Hankel系统确定多项式的项，再通过求解Vandermonde系统计算多项式的系数.但是Hankel矩阵和Vandermonde矩阵的条件数往往很大，这带来了数值上的不稳定性.过采样，即增加样本点个数可以改进插值系统的数值稳定性.Ankur Moitra在STOC2015中指出过采样可使Vandermonde的奇异值产生相位突变并首次给出了定量描述.但是事实上，在实际计算中我们已知的只有Hankel矩阵的信息.　　本文在Moitra结果的基础上证明了过采样同样可以使Hankel矩阵的奇异值产生相位突变，并给出了定量描述.我们同时证明，当过采样至Hankel矩阵的奇异值出现相位突变之后，Vandermonde系统的条件数同样可以被控制，并且通过一些随机方法可以高概率降低所需过采样的个数.因此，我们通过检测Hankel矩阵的奇异值便可确保插值问题的求解达到数值稳定.　　Kaltofen和Lee于2003年提出判断多项式稀疏度的理论:提前终止定理.他们证明了，在达到稀疏度之前，移位的Hankel矩阵的行列式只会在某些非零多项式的零点处为零.而在达到稀疏度之后，Hankel矩阵为奇异矩阵.因此可以通过判断Hankel矩阵的奇异性来确定稀疏度.该定理只对移位的Hankel矩阵成立，而对于标准的Hankel矩阵，提前终止定理是否成立是未解决的公开问题.这个问题的难点在于，表示标准Hankel矩阵行列式的多项式首项系数不一定非零.此外，在数值计算中，由于Hankel矩阵的数值不稳定性，很难精确地判断其奇异性，这使得提前终止定理同样具有数值不稳定性.　　本文首先定义了单项式上的一个偏序关系，证明了表示标准Hankel矩阵行列式的多项式在此偏序下的最高项及“次高项”的系数不可能同时为零，因此证明了标准的Hankel矩阵同样满足提前终止定理.并且，我们利用Hankel矩阵奇异值的相位突变性质，结合过采样方法和提前终止定理，给出了准确判断多项式稀疏度的算法，数值实验结果表现稳定.　　多项式系统求解问题同样是数学中一个既古老又经典的问题，并且在科学与工程计算中有着广泛的应用.许多实际问题要求我们精化多项式系统的近似根.对于孤立简单根，Shub和Smale于1996年提出α理论:当近似根足够接近准确孤立单根时，Newton法具有二次收敛性，并给出收敛半径.但对于孤立重根，数值方法例如Newton法，在重根附近收敛很慢甚至不收敛.而验证多项式系统是否有孤立重根是一个病态问题，因为多项式系数的一个微小扰动可能导致一个孤立重根变成一族简单根.因此，研究多项式系统孤立重根的数值精化和可信验证问题，具有重要的理论意义和应用价值.　　对于简单重根(Jacobian矩阵亏秩为1)的情形，李楠和支丽红通过计算近似局部对偶空间的一组既约基，提出改进的Newton迭代算法，并定性证明了其二次收敛性.该算法的证明较为复杂，很难进行定量的分析及收敛半径的求解.　　本文首先针对在简单二重根和简单三重根处的Jacobian矩阵具有标准型的多项式系统，定义了改进的Newton迭代，定量证明了其二次收敛性并且给出了收敛半径.对Jacobian矩阵不具有标准型的多项式简单重根系统，本文提出先通过近似点处的正交变换得到Jacobian矩阵在近似根处具有标准型的多项式系统，并定义改进的Newton迭代，给出了定性的二次收敛性证明，并在简单三重根情形给出了定量的收敛半径.本文在Maple中实现了改进的Newton迭代算法,新算法在数值试验中的表现基本与李楠和支丽红的算法相同.　　进一步，结合我们另一项关于多项式系统根的隔离界的结果，我们同样可以给出多项式系统简单重根的可信验证，即使用Newton迭代至一定精度，如果可信条件满足，则说明多项式系统在该近似根附近存在重根，并且以该近似根为初始点的改进Newton迭代算法可以二次收敛到指定精确根.