【摘 要】
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本文隶属于Brunn-Minkowski理论,主要研究与凸体表面积相关联的极值位置问题.1961年,Petty通过解决凸体仿射极值问题,对凸体引入极小表面积,由极小表面积将经典的等周不等式加强为仿射等周不等式,初步建立仿射等周不等式和凸体表面积测度迷向性之间的联系.凸体的各阶表面积是刚体不变的,但不是仿射不变的.为了从凸体表面积的刚体不变量中提炼出仿射不变量,本文研究如下仿射几何量问题:Aj（K）
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本文隶属于Brunn-Minkowski理论,主要研究与凸体表面积相关联的极值位置问题.1961年,Petty通过解决凸体仿射极值问题,对凸体引入极小表面积,由极小表面积将经典的等周不等式加强为仿射等周不等式,初步建立仿射等周不等式和凸体表面积测度迷向性之间的联系.凸体的各阶表面积是刚体不变的,但不是仿射不变的.为了从凸体表面积的刚体不变量中提炼出仿射不变量,本文研究如下仿射几何量问题:Aj（K）=inf {Sj（gK）:g∈SL（n）},j=1,…,n-1.当j=n-1时,Petty已证明仿射几何量问题中对凸体最小表面积问题的表述,并建立了解的示性定理,其中仿射几何量An-1（K）是Petty所研究的表面积.本文的主要工作是对上述仿射极小化问题就j<n-1的情形,证实在保体积的仿射像下的变换g满足什么条件时,使得凸体有最小表面积,解决凸体表面积的极小化问题.并进一步对凸体极小表面积位置建立示性定理,揭示出位于极小表面积位置的极值体与凸体迷向测度之间的关系.
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