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本文在没有线性增长和全局Lipschitz连续的条件下,研究了定延迟随机微分方程和无界延迟随机微分方程的真实解以及数值解的零解稳定性.利用Lyapunov函数思想以及连续型和离散型半鞅收敛定理,得到了真实解的零解稳定性,包括p阶矩和a.s.轨道意义下的指数稳定和ψ-稳定条件;也得到了数值解的零解稳定性包括均方和a.s.轨道意义下的渐近稳定、指数稳定和ψ-稳定条件.之后对方程系数施加限制条件,具体化一般条件,使得定理的条件更易于验证. 利用连续的半鞅收敛定理,在单调型条件下,得到了定延迟随机微分方程p阶矩和a.s.轨道意义下的零解指数稳定.而对无界延迟随机微分方程的研究中,引入Ψ类函数作为参照函数,并且借助衰减因子ψ?ε(δ(t))来抑制无界延迟所带来的困难,得到了在单调型条件下无界延迟随机微分方程p阶矩和a.s.轨道意义下的零解ψ-稳定. 在讨论数值解的稳定性方面,利用离散的半鞅收敛定理,研究了BackwardEuler-Maruyama(BEM)以及更一般的随机θ方法的零解稳定性.对于定延迟随机微分方程,我们在单调条件下,得到了的上述两种数值解的均方渐近稳定、a.s.轨道渐近稳定.当条件加强为强单调条件,则可以得到数值解的均方指数稳定和a.s.轨道指数稳定,这是本文的主要特征之一.值得一提的是,在对随机θ方法稳定性分析中,我们同时给出了当θ∈[0,0.5)时该数值方法无法复现真实解零解稳定性的反例,以及θ∈(0.5,1]时该数值方法能够稳定的证明.对于无界延迟随机微分方程,并且借助衰减因子ψ?ε(δ(t)),在单调条件下和强单调条件下,分别得到了上述两种数值方法均方和a.s.轨道意义下的的渐近稳定性以及ψ-稳定性. 本文在程序上采用“两阶段模式”:首先,在单调型条件下建立一般性定理;其次,具体化一般性定理的条件,通过加入f与g的增长条件,得到只含有系统参数的约束条件,最终得到便于应用的定理.我们主要考虑两类具体化的条件,单边线性增长条件和多项式增长条件.在多项式增长条件中,将扩散系数g放宽至多项式增长.在该条件下所得结论较之现有结论有了本质的改进,使得结论覆盖了许多扩散系数不满足线性增长的重要系统,如Lotka-Volterra系统.而以上两个具体化的条件,不但包涵在单调型条件内,也包涵在强单调型条件内,这说明了强单调条件有着很广的适用范围、并从侧面反映了两个单调型条件是非常接近的. 本文关于数值解稳定性的结论有对步长的要求很弱,仅仅只要满足隐式数值方法的定义合理,而在定理证明中没有其他限制.换句话说,若数值解定义合理,那么对任意步长的BEM以及随机θ方法都是能保留复现原方程的零解稳定性的.其次,本文对各种情况都给出了可行的办法,用于计算衰减速度γ以及γ(?).数值解的衰减速度γ(?)与所选取的步长有关,但当步长选取得充分小时,是这个速度会充分接近真实解衰减至零解的速度γ.