【摘 要】
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近年来,非线性偏微分方程组中规范解的存在性问题已成为广大学者关注的热点。本文利用变分方法,对于一类具有二次增长的椭圆型方程组,研究其规范解的存在性。该类非线性椭圆型方程组与等离子体中拉曼放大的物理过程有关,该过程广泛应用于物理学、电磁学和量子力学等科学领域。第一部分研究了一类耦合椭圆型方程组在L~2-次临界情形下（N≤3）正规范解的存在性。首先,将方程组解的存在性问题转化为对应能量泛函极小值点的存
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近年来,非线性偏微分方程组中规范解的存在性问题已成为广大学者关注的热点。本文利用变分方法,对于一类具有二次增长的椭圆型方程组,研究其规范解的存在性。该类非线性椭圆型方程组与等离子体中拉曼放大的物理过程有关,该过程广泛应用于物理学、电磁学和量子力学等科学领域。第一部分研究了一类耦合椭圆型方程组在L~2-次临界情形下（N≤3）正规范解的存在性。首先,将方程组解的存在性问题转化为对应能量泛函极小值点的存在性问题;其次,利用Schwarz重排的相关理论,证明了极小化序列有强收敛子列,修复了紧性,在H~1ra d（?N）×H~1ra d（?N）上找到了泛函的极小值点;最后,求证该极小值点仍满足L~2-限制,从而完成了该方程组正规范解的存在性证明。第二部分研究了一类耦合椭圆型方程组在L~2-超临界情形下（N=5）正规范解的存在性。首先,将该方程组解的存在性问题转化为对应能量泛函临界点的存在性问题;其次,运用极大极小原理研究了Palais-Smale序列的存在性,并运用Pohozaev恒等式,证明方程组能量泛函满足Palais-Smale条件,从而得到泛函的临界点;最后,证明该临界点即为方程组的正规范解。同时,本文也探讨了该方程组在一定条件下基态解的存在性问题。
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