光滑函数的小波系数往往具有“稀疏性”,即使是一个复杂的信号,也可以通过紧小波框架展开,并通过少量的小波基“逼近”。因此,通过小波基、小波框架分析函数、信号、图像的方法被广泛应用于基础数学、应用数学、信息科学等不同领域。受近期Sobolev空间理论和小波图像去噪等问题研究的启发,本文对高维Sobolev空间刻画和小波与非局部均值去噪这两方面的问题继续进行研究。针对第一个问题,我们使用由C∞紧支集的非平稳细分函数构造的非平稳紧小波框架来表征任意高维Sobolev空间,我们将Han和Shen的结果推广到高维空间。我们证明了由非平稳拟箱样条生成的非平稳紧框架可以根据小波系数序列的加权l2（Zd）范数刻画任意固定平滑阶的高维Sobolev空间。关于小波非局部均值去噪,我们研究了小波去噪办法,提出了基于小波域的渐近非局部去噪算法,该方法利用小波分离信号的优势,通过小波分解获得图像的高、低频区域,对高频小波系数进行阈值处理,进行二维重构,然后采用渐近非局部方法进行降噪。实验结果表明:通过小波的阈值处理,该算法具有比非局部均值去噪算法（NLM）和原有的渐近非局部去噪算法更优的降噪效果。