由于很多新发现的软物质材料,如碳纳米管,在微观上都具有负曲率的结构特点,近年来越来越多的人开始将研究临界现象的统计物理模型放到非欧空间中的规则晶格结构,尤其是在负曲率曲面上。本文用以接触过程为例研究不同拓扑结构上的传播过程动力学,包括纯接触过程和淬火的接触过程,在平面和双曲面上不同的网络结构上进行模拟。首先对纯接触过程的常用模拟和解析方法进行了总结,包括平均场方程、非均匀平均场方程、主方程和准稳态模拟,并在此基础上引入了淬火接触过程。随后以铁磁相变为起点,介绍了格里菲斯相,对其动力学特点和原因进行了分析以引入罕见区域效应。简单介绍了与格里菲斯相密切相关的伊辛模型和渗流模型。对接触过程而言,格里菲斯相体现为序参量随时间幂率衰减。以随机网络上的接触过程为例,从相变的角度研究了淬火无序对动力学的影响。然后通过对比随机网络和无标度网络上的纯接触过程,证明纯拓扑无序也会产生罕见区域效应,也就是格里菲斯相。在对格里菲斯相有了系统的认识后,模拟双曲晶格上的键淬火接触过程,相比于在平面晶格上的一个渗流临界值,双曲晶格上有两个键渗留临界值,0.28和0.47。这是由于尺寸无穷大时,负曲率曲面有非零的面积体积比。删边比例小于0.28时(i),发生吸收相-活跃相相变,删边比例大于0.47时(ii),发生吸收相-格里菲斯相相变,在两个渗留临界值之间(iii)发生了吸收相-格里菲斯相和格里菲斯相-活跃相相变。通过准稳态模拟,得到双曲晶格格里菲斯相的准稳态数值结果,并确定临街感染率的准确值。最后通过模拟双曲晶格上的渗流,并和随机网络、配置模型进行比较,以两个渗流临界值为分界点,研究了最大团尺寸、最大团直径以及两者的比值,并比较了配置模型和双曲晶格在不同删边比例下的团分布,得出是传播能力和罕见区域效应之间的相互竞争导致双曲晶格在两个临界值之间时,格里菲斯相成为一个中间态。对于第(i)种情况,存在一个占据整个网络的最大集团,无需考虑罕见区域效应。对于第(ⅱ)种情况,系统中有小尺寸的集团,和ER网络中一样,罕见区域效应导致活性无法维持。对于第(iii)种情况,虽然也是只有有限尺寸集团,但是存在比第(ⅱ)种情况大的集团,这些集团导致了三个相的出现。当感染率很小时,所有集团处于亚临界状态,活性不能维持,即吸收相。感染率增加到一定值时,集团处在超临界状态,但由于尺寸有限,导致整个系统处在格里菲斯相。当感染率足够大时,这些集团仍处在超临界状态,但是高感染率抑制了有限尺寸导致的衰减,因此活性在长时间内得以保存。