由连续整数构成的集合称为区间.对于整数a≤b,区间{a,a+1,…,b-1,b}记作[a,b].如果a＞b,则有[a,b]=?.对于整数1＜a≤b＜t,称[1,t]\[a,b]为循环区间.如果|M|=k,则称（循环）区间M为k-（循环）区间.对于图G的t-全着色α以及任意顶点v∈V（G）,如果S[α,v]为（dG（v）+1）-区间,或者（dG（v）+1）-循环区间,则称α为G的循环区间t-全着色,并称图G为可循环区间t-全着色的（或:可循环区间全着色的）,其中S[α,v]表示{α（v）}∪{α（e）|e与v关联},dG（v）表示顶点v在图G中的度.所有可循环区间全着色的图构成的集合记作（?）.对于任意图G∈（?）,令Θ（G）={t|G为可循环区间 t-全着色的},ωτc（G）=minΘ（G）,Wτc（G）=maxΘ（G）.在图G和H的不交并中增加边,将G中的每个顶点与H的任一顶点连接,得到的图称为G和H的联图,记作G∨H.研究完全二部图Km,n、空图Im与圈Cn的联图Im∨Cn、路Pm与路Pn的联图Pm∨Pn、圈Cm与圈Cn的联图Cm∨Cn以及路Pm与圈Cn的联图Pm∨Cn的循环区间全着色.1.对于任意m,n∈N,证明Km,n∈（?）,并得到下面结果:（1）（?）（2）Wτc（Km,n）≥m+n+4,其中 min{m,n}＞1.2.对于任意m,n∈N,证明如果n=m+1,m+2且m≥2为偶数,或者 m≥n≥ 3,则ωτc（Im∨Cn）=m+3;如果 m≥2,n≥3,则Wτc（Im∨Cn）m+n+4.3.对于任意整数m,n≥2,证明Pm∨Pn∈（?）,并得到下面结果:（1）（?）（2）n+3≤ωτc（Pn∨Pn）≤n+4,其中n≥3,（3）ωτc（Pm∨Pn）=n+3,其中n＞m≥3,（4）（?）4.对于任意整数m,n ≥ 3证明,如果n＞m且m为偶数,或者n=m+1,m+2且m为奇数,或者n≥2m+2且m为奇数,则Cm∨Cn∈（?）且有 ωτc（Cm∨Cn）=n+3.5.对于任意整数m,n≥2,证明Pm∨Cn∈（?）,并得到下面结果:（1）ωτc（P2∨Cn）=n+2,其中 n≥2,（2）有 n+3 ≤ωτc（Pn∨Cn）≤n+4,其中 n≥3,（3）ωτc（Pm∨Cn）=max{m,n}+3,其中n≠m且m≥3.